Calcule todos os valores das seguintes raízes.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular todas as raízes de
. Aqui estamos lidando com raízes e usando um expoente fracionário, especificamente a raiz cúbica. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre números complexos e como encontrar todas as raízes de um número negativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que calcular
significa encontrar todos os números que, quando elevados ao cubo, resultam em -27. Sabemos que existe uma raiz real e duas raízes complexas para essa equação.
Passo 3
Vamos começar pela raiz real. Sabemos que:
Então, uma das raízes é simplesmente:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as raízes complexas. Para isso, usamos a forma polar dos números complexos. Primeiro, representamos -27 em forma polar. O número -27 no plano complexo pode ser escrito como:
Aqui, o módulo é 27 e o argumento é
radianos.
Passo 5
A fórmula para encontrar as raízes cúbicas de um número complexo é:
onde
.
Passo 6
Aplicando essa fórmula ao nosso número, temos:
Sabemos que
.
Passo 7
Agora, vamos calcular para cada valor de
:
- Para
:
- Para
:
Essa já é a raiz real que encontramos antes.
- Para
:
Resposta
As três raízes de
são:
Exercícios relacionados
Calcule todos os valores das seguintes raízes.
(a)
(a)
Determine a forma polar de
e
e represente os resultados no plano complexo
(b)
(b)
Calcule
onde
(a)
(a)
Calcule
onde
(b)
(b)