Calcule todos os valores das seguintes raízes.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular todas as raízes de . Aqui estamos lidando com raízes e usando um expoente fracionário, especificamente a raiz cúbica. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre números complexos e como encontrar todas as raízes de um número negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que calcular significa encontrar todos os números que, quando elevados ao cubo, resultam em -27. Sabemos que existe uma raiz real e duas raízes complexas para essa equação.

Passo 3

Vamos começar pela raiz real. Sabemos que:
Então, uma das raízes é simplesmente:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as raízes complexas. Para isso, usamos a forma polar dos números complexos. Primeiro, representamos -27 em forma polar. O número -27 no plano complexo pode ser escrito como:
Aqui, o módulo é 27 e o argumento é radianos.

Passo 5

A fórmula para encontrar as raízes cúbicas de um número complexo é:
onde .

Passo 6

Aplicando essa fórmula ao nosso número, temos:
Sabemos que .

Passo 7

Agora, vamos calcular para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
Essa já é a raiz real que encontramos antes.
  • Para :

Resposta

As três raízes de são:

Exercícios relacionados

Calcule todos os valores das seguintes raízes.
(a)
Determine a forma polar de e e represente os resultados no plano complexo
(b)
Calcule onde
(a)
Calcule onde
(b)