Calcule todos os valores das seguintes raízes.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular todas as raízes quártulas de
. A matéria que vamos usar é a de números complexos e, especificamente, o método de forma polar para encontrar raízes de números complexos. Vamos precisar transformar o número complexo para a forma polar, aplicar a fórmula das raízes e então converter de volta para a forma retangular.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o número complexo
na forma polar. Lembra que um número complexo na forma retangular
pode ser convertido para a forma polar , onde:
-
é o módulo, dado por -
é o argumento, que é o ângulo formado com o eixo real.
Passo 3
Calculando o módulo
:
Então, temos
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento
. Como o número está no quarto quadrante (parte real positiva e parte imaginária negativa), usamos a função arco-tangente:
Mas para termos o ângulo no intervalo
, adicionamos
:
Passo 5
Agora que temos a forma polar: , vamos aplicar a fórmula para encontrar as raízes quártulas.
A fórmula geral para a
-ésima raiz é:
No nosso caso,
e
.
Passo 6
Calculando
:
Agora, vamos calcular cada uma das quatro raízes substituindo os valores de
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As quatro raízes quártulas de
são: