Calcule todos os valores das seguintes raízes.
(a) (1 - raiz(3) * i)^(1/4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular todas as raízes quártulas de . A matéria que vamos usar é a de números complexos e, especificamente, o método de forma polar para encontrar raízes de números complexos. Vamos precisar transformar o número complexo para a forma polar, aplicar a fórmula das raízes e então converter de volta para a forma retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o número complexo na forma polar. Lembra que um número complexo na forma retangular pode ser convertido para a forma polar , onde:
  • é o módulo, dado por
  • é o argumento, que é o ângulo formado com o eixo real.

Passo 3

Calculando o módulo :
Então, temos .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento . Como o número está no quarto quadrante (parte real positiva e parte imaginária negativa), usamos a função arco-tangente:
Mas para termos o ângulo no intervalo , adicionamos :

Passo 5

Agora que temos a forma polar: , vamos aplicar a fórmula para encontrar as raízes quártulas.
A fórmula geral para a -ésima raiz é:
No nosso caso, e .

Passo 6

Calculando :
Agora, vamos calcular cada uma das quatro raízes substituindo os valores de :
Para :
Para :
Para :
Para :

Resposta

As quatro raízes quártulas de são:

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