Determine a forma polar de e e represente os resultados no plano complexo
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a forma polar de , e , onde e . Para isso, vamos usar o conteúdo de números complexos, especificamente operações como adição, multiplicação e divisão, além de converter esses números da forma retangular para a forma polar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a forma polar de um número complexo. Um número complexo pode ser representado na forma retangular ou na forma polar , onde:
  • é o módulo do número complexo, que representa a distância até a origem no plano complexo.
  • é o argumento, que representa o ângulo formado com o eixo real positivo.
Para encontrar e , usamos:

Passo 3

Vamos começar calculando :
Somando as partes reais e imaginárias:
Agora, vamos converter para a forma polar. Aqui, e :
Como a parte real é 0 e a parte imaginária é negativa, o ângulo é ou .
Então, a forma polar de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Usando a propriedade distributiva:
Lembrando que :
A forma polar de é:
(já que está no eixo real negativo)
Então:

Passo 5

Por último, vamos calcular :
Primeiro, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para simplificar:
Expandindo:
Numerador:
Denominador:
Então:
A forma polar de é:
Portanto:

Resposta

A forma polar de é , de é e de é . Essas representações podem ser plotadas no plano complexo conforme descrito.

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