Calcule o trabalho que o campo de forças
realiza em uma partícula que se desloca ao londo do segmento de reta do ponto até o ponto .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um campo de forças definido por
e precisamos calcular o trabalho que esse campo realiza quando uma partícula se move ao longo de uma linha reta que vai do ponto até o ponto . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração de linha no contexto de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho num campo de forças. O trabalho realizado por um campo de forças ao mover uma partícula ao longo de um caminho é calculado pela integral de linha do campo vetorial ao longo desse caminho. Matemáticamente, isso é representado por:
onde é o caminho seguido pela partícula, é o campo de forças, e é um elemento infinitesimal do caminho.

Passo 3

Agora, precisamos parametrizar o caminho , que é uma linha reta de a . Vamos usar um parâmetro , onde varia de a . A parametrização será:
Aqui, quando , , e quando , .

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Portanto,

Passo 5

Agora, substituímos a parametrização de na expressão do campo de forças :

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 7

Simplificamos a expressão obtida:

Passo 8

Agora, integramos essa expressão de a para encontrar o trabalho :

Passo 9

Calculando essa integral (o que envolve integração por partes para os termos exponenciais e trigonométricos), encontramos o valor do trabalho realizado pelo campo de forças ao longo do caminho especificado.

Resposta

Após realizar os cálculos, o trabalho realizado pelo campo de forças ao longo do segmento de reta é:

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Green para calcular a integral
onde é a fronteira da região compreendida por e , e está orientada no sentido anti-horário.
Considere o campo vetorial
Calcule o trabalho realizado pelo campo em uma partícula que se move de até ao longo de uma curva lisa arbitrária de até .
Considere a curva do plano que pode ser descrita pelas equações paramétricas
onde o parâmetro varia no intervalo . Essa curva delimita uma região do plano cujo formato é parecido com o de uma palheta de violão (ver figura ao lado). Determine a área desta região .
Dica: Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Além disso, lembre que a integral da função pode ser calculada observando que
e fazendo a substituição .
Utilize o Teorema de Green para calcular a área delimitada pela elipse .