Calcule o trabalho que o campo de forças
F(x, y) = < 6 y^2 + e^x sen(y), 12 x y + e^x cos(y) >
realiza em uma partícula que se desloca ao londo do segmento de reta do ponto 1,0 até o ponto (0, pi / 2).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um campo de forças definido por
e precisamos calcular o trabalho que esse campo realiza quando uma partícula se move ao longo de uma linha reta que vai do ponto até o ponto . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração de linha no contexto de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho num campo de forças. O trabalho realizado por um campo de forças ao mover uma partícula ao longo de um caminho é calculado pela integral de linha do campo vetorial ao longo desse caminho. Matemáticamente, isso é representado por:
onde C é o caminho seguido pela partícula, F é o campo de forças, e é um elemento infinitesimal do caminho.

Passo 3

Agora, precisamos parametrizar o caminho C, que é uma linha reta de a . Vamos usar um parâmetro t, onde t varia de 0 a 1. A parametrização será:
Aqui, quando , , e quando , .

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar , que é a derivada de r(t) em relação a t:
Portanto,

Passo 5

Agora, substituímos a parametrização de r(t) na expressão do campo de forças :

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 7

Simplificamos a expressão obtida:

Passo 8

Agora, integramos essa expressão de a para encontrar o trabalho W:

Passo 9

Calculando essa integral (o que envolve integração por partes para os termos exponenciais e trigonométricos), encontramos o valor do trabalho realizado pelo campo de forças ao longo do caminho especificado.

Resposta

Após realizar os cálculos, o trabalho realizado pelo campo de forças ao longo do segmento de reta é:

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