Calcule o trabalho que o campo de forças
realiza em uma partícula que se desloca ao londo do segmento de reta do ponto
até o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um campo de forças definido por
e precisamos calcular o trabalho que esse campo realiza quando uma partícula se move ao longo de uma linha reta que vai do ponto
até o ponto
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração de linha no contexto de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho num campo de forças. O trabalho realizado por um campo de forças ao mover uma partícula ao longo de um caminho é calculado pela integral de linha do campo vetorial ao longo desse caminho. Matemáticamente, isso é representado por:
onde
é o caminho seguido pela partícula,
é o campo de forças, e
é um elemento infinitesimal do caminho.
Passo 3
Agora, precisamos parametrizar o caminho
, que é uma linha reta de
a
. Vamos usar um parâmetro
, onde
varia de
a
. A parametrização será:
Aqui, quando
,
, e quando
,
.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Portanto,
Passo 5
Agora, substituímos a parametrização de
na expressão do campo de forças
:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Simplificamos a expressão obtida:
Passo 8
Agora, integramos essa expressão de
a
para encontrar o trabalho
:
Passo 9
Calculando essa integral (o que envolve integração por partes para os termos exponenciais e trigonométricos), encontramos o valor do trabalho realizado pelo campo de forças ao longo do caminho especificado.
Resposta
Após realizar os cálculos, o trabalho realizado pelo campo de forças ao longo do segmento de reta é:
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Green para calcular a integral
onde
é a fronteira da região compreendida por
e
, e
está orientada no sentido anti-horário.
Considere o campo vetorial
Calcule o trabalho realizado pelo campo em uma partícula que se move de
até
ao longo de uma curva lisa arbitrária de
até
.
Calcule o trabalho realizado pelo campo
Considere a curva
do plano
que pode ser descrita pelas equações paramétricas
onde o parâmetro
varia no intervalo
. Essa curva
delimita uma região
do plano cujo formato é parecido com o de uma palheta de violão (ver figura ao lado). Determine a área desta região
.
Dica: Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Dica: Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Além disso, lembre que a integral da função
pode ser calculada observando que
e fazendo a substituição
.
Utilize o Teorema de Green para calcular a área delimitada pela elipse
.