Considere a curva C do plano x y que pode ser descrita pelas equações paramétricas
x = sen(2t) ; y = 2 sen(t)
onde o parâmetro t varia no intervalo 0 <= t <= pi. Essa curva C delimita uma região R do plano cujo formato é parecido com o de uma palheta de violão (ver figura ao lado). Determine a área desta região R.
Dica: Podem ser úteis as identidades trigonométricas
sen(2t) = 2(sen(t)cos(t)) cos(2t) = cos^2(t) - sen^2(t)
Além disso, lembre que a integral da função sen^3(t) pode ser calculada observando que
sen^3(t) = sen(t) * sen^2(t) = sen(t) * (1 - cos^2(t))
e fazendo a substituição u = cos(t).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar a área de uma região delimitada por uma curva no plano . A curva é definida pelas equações paramétricas:
onde o parâmetro varia de a . Para resolver esse problema, vamos utilizar o conceito de integrais definidas para calcular áreas de regiões delimitadas por curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Dada a equação , derivando em relação a temos:
Essa derivada será usada na fórmula da área da região.

Passo 3

A fórmula para calcular a área de uma região delimitada por uma curva paramétrica é:
Substituindo os limites de integração de a , temos:

Passo 4

Para resolver a integral , podemos usar uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
No entanto, uma abordagem mais simples é usar a fórmula do produto de senos e cossenos:
Aplicando isso na nossa integral:
Portanto, a integral se torna:

Passo 5

Agora, resolvemos as integrais separadamente:
Integrando cada termo:
Aplicando os limites de integração:

Passo 6

Calculando as avaliações:
Somando os resultados:

Resposta

A área da região delimitada pela curva é unidades de área.

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