Considere a curva
do plano
que pode ser descrita pelas equações paramétricas
onde o parâmetro
varia no intervalo
. Essa curva
delimita uma região
do plano cujo formato é parecido com o de uma palheta de violão (ver figura ao lado). Determine a área desta região
.
Dica: Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Além disso, lembre que a integral da função
pode ser calculada observando que
e fazendo a substituição
.
Dica: Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar a área de uma região delimitada por uma curva no plano
. A curva
é definida pelas equações paramétricas:
onde o parâmetro
varia de
a
. Para resolver esse problema, vamos utilizar o conceito de integrais definidas para calcular áreas de regiões delimitadas por curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Dada a equação , derivando em relação a
temos:
Essa derivada será usada na fórmula da área da região.
Passo 3
A fórmula para calcular a área
de uma região delimitada por uma curva paramétrica é:
Substituindo os limites de integração de
a
, temos:
Passo 4
Para resolver a integral , podemos usar uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
No entanto, uma abordagem mais simples é usar a fórmula do produto de senos e cossenos:
Aplicando isso na nossa integral:
Portanto, a integral se torna:
Passo 5
Agora, resolvemos as integrais separadamente:
Integrando cada termo:
Aplicando os limites de integração:
Passo 6
Calculando as avaliações:
Somando os resultados:
Resposta
A área da região
delimitada pela curva
é
unidades de área.