Utilize o Teorema de Green para calcular a área delimitada pela elipse .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a área delimitada pela elipse definida pela equação usando o Teorema de Green. Para isso, vamos precisar conhecer o Teorema de Green e como aplicá-lo para calcular áreas.

Passo 2

O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região limitada por esse caminho. Para calcular a área da região, podemos usar uma forma simplificada do Teorema de Green:
Aqui, é o contorno da elipse.

Passo 3

Vamos parametrizar a elipse para facilitar a integração. A equação da elipse pode ser reescrita como:
Isso nos mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento no eixo e no eixo .

Passo 4

Uma parametrização comum para uma elipse é:
Onde e são os semi-eixos. No nosso caso, e .

Passo 5

Calculamos as derivadas de e em relação a :

Passo 6

Substituímos , , e na fórmula da área:

Passo 7

Simplificamos a expressão dentro da integral:
Sabemos que , então:

Passo 8

Substituímos e :

Resposta

A área delimitada pela elipse é unidades de área.

Exercícios relacionados

Considere a curva do plano que pode ser descrita pelas equações paramétricas
onde o parâmetro varia no intervalo . Essa curva delimita uma região do plano cujo formato é parecido com o de uma palheta de violão (ver figura ao lado). Determine a área desta região .
Dica: Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Além disso, lembre que a integral da função pode ser calculada observando que
e fazendo a substituição .
Calcule o trabalho que o campo de forças
realiza em uma partícula que se desloca ao londo do segmento de reta do ponto até o ponto .
Usando o Teorema de Green, calcule a integral de linha
onde é o contorno poligonal fechado, percorrido no sentido anti-horário, formado pelas retas de equações e .
Figura 1: região do exercício 11
Considere o campo vetorial . Calcule
onde é a fronteira da região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo de equação e os eixos coordenados, percorrida no sentido anti-horário.