Utilize o Teorema de Green para calcular a área delimitada pela elipse 5 x^2 + 7 y^2 = 35.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a área delimitada pela elipse definida pela equação usando o Teorema de Green. Para isso, vamos precisar conhecer o Teorema de Green e como aplicá-lo para calcular áreas.

Passo 2

O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região limitada por esse caminho. Para calcular a área da região, podemos usar uma forma simplificada do Teorema de Green:
Aqui, é o contorno da elipse.

Passo 3

Vamos parametrizar a elipse para facilitar a integração. A equação da elipse pode ser reescrita como:
Isso nos mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento no eixo e no eixo .

Passo 4

Uma parametrização comum para uma elipse é:
Onde e são os semi-eixos. No nosso caso, e .

Passo 5

Calculamos as derivadas de e em relação a :

Passo 6

Substituímos , , e na fórmula da área:

Passo 7

Simplificamos a expressão dentro da integral:
Sabemos que , então:

Passo 8

Substituímos e :

Resposta

A área delimitada pela elipse é unidades de área.

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