Utilize o Teorema de Green para calcular a área delimitada pela elipse
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a área delimitada pela elipse definida pela equação
usando o Teorema de Green. Para isso, vamos precisar conhecer o Teorema de Green e como aplicá-lo para calcular áreas.
Passo 2
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região limitada por esse caminho. Para calcular a área
da região, podemos usar uma forma simplificada do Teorema de Green:
Aqui,
é o contorno da elipse.
Passo 3
Vamos parametrizar a elipse para facilitar a integração. A equação da elipse
pode ser reescrita como:
Isso nos mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento
no eixo
e
no eixo
.
Passo 4
Uma parametrização comum para uma elipse é:
Onde
e
são os semi-eixos. No nosso caso,
e
.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 6
Substituímos
,
,
e
na fórmula da área:
Passo 7
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Substituímos
e
:
Resposta
A área delimitada pela elipse
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Considere a curva
do plano
que pode ser descrita pelas equações paramétricas
onde o parâmetro
varia no intervalo
. Essa curva
delimita uma região
do plano cujo formato é parecido com o de uma palheta de violão (ver figura ao lado). Determine a área desta região
.
Dica: Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Dica: Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Além disso, lembre que a integral da função
pode ser calculada observando que
e fazendo a substituição
.
Calcule o trabalho que o campo de forças
realiza em uma partícula que se desloca ao londo do segmento de reta do ponto
até o ponto
.
Usando o Teorema de Green, calcule a integral de linha
onde
é o contorno poligonal fechado, percorrido no sentido anti-horário, formado pelas retas de equações
e
.
Figura 1: região do exercício 11
Considere o campo vetorial
. Calcule
onde
é a fronteira da região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo de equação
e os eixos coordenados, percorrida no sentido anti-horário.