Utilize o Teorema de Green para calcular a área delimitada pela elipse
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a área delimitada pela elipse definida pela equação
usando o Teorema de Green. Para isso, vamos precisar conhecer o Teorema de Green e como aplicá-lo para calcular áreas.
Passo 2
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região limitada por esse caminho. Para calcular a área
da região, podemos usar uma forma simplificada do Teorema de Green:
Aqui,
é o contorno da elipse.
Passo 3
Vamos parametrizar a elipse para facilitar a integração. A equação da elipse
pode ser reescrita como:
Isso nos mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento
no eixo
e
no eixo
.
Passo 4
Uma parametrização comum para uma elipse é:
Onde
e
são os semi-eixos. No nosso caso,
e
.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 6
Substituímos
,
,
e
na fórmula da área:
Passo 7
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Substituímos
e
:
Resposta
A área delimitada pela elipse
é
unidades de área.