Use o Teorema de Green para calcular a integral
onde
é a fronteira da região compreendida por
e
, e
está orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma integral de linha ao longo de uma curva fechada
, que é a fronteira da região delimitada por
e
. A curva está orientada no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla, o que vai facilitar nossos cálculos. Para isso, precisamos identificar as funções
e
da integral dada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
na integral:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde
é a região interior à curva
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região
. A região está limitada por
e
. Para encontrar os pontos de interseção:
Portanto, os limites para
vão de 0 a 1. Para cada
,
varia de
até
.
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla:
Vamos resolver a integral interna primeira, em relação a
:
Substituindo os limites:
Passo 6
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Simplificando:
Resposta
A integral vale
.