Use o Teorema de Green para calcular a integral
ointC(cos (x)+y^2) d x+(ln (y)+x^2) d y
onde C é a fronteira da região compreendida por y=x^2 e y=x, e C está orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma integral de linha ao longo de uma curva fechada , que é a fronteira da região delimitada por e . A curva está orientada no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla, o que vai facilitar nossos cálculos. Para isso, precisamos identificar as funções e da integral dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar P(x, y) = cos(x) + y^2 e Q(x, y) = ln(y) + x^2 na integral:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região interior à curva .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (ln(y) + x^2) = 2x
partial Ppartial y = partialpartial y (cos(x) + y^2) = 2y
Agora, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x - 2y

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região x^2 = x implies x^2 - x = 0 implies x(x - 1) = 0 implies x = 0 ou x = 1 . A região está limitada por e . Para encontrar os pontos de interseção:
Portanto, os limites para vão de 0 a 1. Para cada , varia de até .

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla:
integral duplaD (2x - 2y) , dA = integralx=0^1 integraly=x^2^x (2x - 2y) , dy , dx
Vamos resolver a integral interna primeira, em relação a integraly=x^2^x (2x - 2y) , dy = [ 2x y - y^2 ]x^2^x :
= (2x cdot x - x^2) - (2x cdot x^2 - (x^2)^2) = (2x^2 - x^2) - (2x^3 - x^4) = x^2 - 2x^3 + x^4
Substituindo os limites:

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^1 (x^2 - 2x^3 + x^4) , dx = [ x^33 - 2x^44 + x^55 ]0^1 = ( 13 - 12 + 15 ) - 0 :
13 - 12 + 15 = 1030 - 1530 + 630 = 130
Simplificando:

Resposta

A integral vale .

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