Use o Teorema de Green para calcular a integral
onde é a fronteira da região compreendida por e , e está orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma integral de linha ao longo de uma curva fechada , que é a fronteira da região delimitada por e . A curva está orientada no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla, o que vai facilitar nossos cálculos. Para isso, precisamos identificar as funções e da integral dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e na integral:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região interior à curva .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região . A região está limitada por e . Para encontrar os pontos de interseção:
Portanto, os limites para vão de 0 a 1. Para cada , varia de até .

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla:
Vamos resolver a integral interna primeira, em relação a :
Substituindo os limites:

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a :
Simplificando:

Resposta

A integral vale .

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Calcule o trabalho que o campo de forças
realiza em uma partícula que se desloca ao londo do segmento de reta do ponto até o ponto .
Considere a curva do plano que pode ser descrita pelas equações paramétricas
onde o parâmetro varia no intervalo . Essa curva delimita uma região do plano cujo formato é parecido com o de uma palheta de violão (ver figura ao lado). Determine a área desta região .
Dica: Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Além disso, lembre que a integral da função pode ser calculada observando que
e fazendo a substituição .