Considere o campo vetorial F(x, y) = < 2xy^3, 3x^2y^2 >
Calcule o trabalho realizado pelo campo F em uma partícula que se move de P(-3,0) até Q(4, 1) ao longo de uma curva lisa arbitrária de P até Q.

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse problema juntos. A gente precisa calcular o trabalho realizado por um campo vetorial quando uma partícula se move do ponto até ao longo de qualquer curva lisa entre esses pontos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial tal que , onde é o gradiente de . Se o campo for conservativo, o trabalho realizado depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.

Passo 3

Para verificar se é conservativo, vamos usar a condição de conservatividade em dois campos dimensionais. Seja , onde:
A condição para ser conservativo é que a derivada parcial de em relação a seja igual à derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , o campo é realmente conservativo.

Passo 5

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que:
Isso significa que:

Passo 6

Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de e aparece porque a constante de integração pode depender de quando integramos em relação a .

Passo 7

Para determinar , derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Podemos considerar sem perda de generalidade.

Passo 8

Portanto, a função potencial é:

Passo 9

O trabalho realizado pelo campo ao mover a partícula de até é a diferença dos valores da função potencial nos pontos final e inicial:
Calculando cada termo:
Então:

Resposta

O trabalho realizado é unidades de trabalho.

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