Considere o campo vetorial
Calcule o trabalho realizado pelo campo
em uma partícula que se move de
até
ao longo de uma curva lisa arbitrária de
até
.
Calcule o trabalho realizado pelo campo
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse problema juntos. A gente precisa calcular o trabalho realizado por um campo vetorial
quando uma partícula se move do ponto
até
ao longo de qualquer curva lisa entre esses pontos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial
tal que
, onde
é o gradiente de
. Se o campo for conservativo, o trabalho realizado depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, vamos usar a condição de conservatividade em dois campos dimensionais. Seja
, onde:
A condição para
ser conservativo é que a derivada parcial de
em relação a
seja igual à derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, o campo
é realmente conservativo.
Passo 5
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Isso significa que:
Passo 6
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e aparece porque a constante de integração pode depender de
quando integramos em relação a
.
Passo 7
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Podemos considerar
sem perda de generalidade.
Passo 8
Portanto, a função potencial é:
Passo 9
O trabalho realizado pelo campo
ao mover a partícula de
até
é a diferença dos valores da função potencial nos pontos final e inicial:
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
O trabalho realizado é
unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
Confirme que o campo é conservativo em todo plano e encontre uma função potencial
.
Confirme que o campo
Considere o campo vetorial
Calcule o trabalho realizado pelo campo em uma partícula que se move de
até
ao longo de uma curva lisa arbitrária de
até
.
Calcule o trabalho realizado pelo campo
Use o Teorema de Green para calcular a integral
onde
é a fronteira da região compreendida por
e
, e
está orientada no sentido anti-horário.
Calcule o trabalho que o campo de forças
realiza em uma partícula que se desloca ao londo do segmento de reta do ponto
até o ponto
.