Calcule o trabalho para se deslocar uma partícula no campo de forças
ao longo:
(b) da curva , de até .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de trabalho num campo de forças. A gente tem uma força e precisa calcular o trabalho quando uma partícula se move ao longo da curva dada por , , , de até . Para isso, vamos precisar usar o conceito de integral de linha no cálculo vetorial, que nos permite calcular o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva parametrizada por de até é dado pela integral de linha:
Aqui, é o vetor derivada da posição em relação ao parâmetro .

Passo 3

Vamos agora encontrar . A curva está parametrizada por:
Derivando cada componente em relação a :
Então, o vetor é:

Passo 4

Agora, vamos substituir as expressões de , e em termos de na força :
Substituindo:
Então:

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de até :
Integrando termo a termo:
Substituindo e :

Resposta

O trabalho realizado é aproximadamente unidades de energia.

Exercícios relacionados

O escoamento de um fluido incompressível e estacionário é regido pelo campo vetorial . Verifique em cada caso se há fontes ou sumidouros em alguma região do espaço.
(b) .
Seja uma função. Considere a função definida por para todo . Prove que é sobrejetora.
Sejam e funções bijetoras. Prove que existe uma função bijetora .
Seja uma função e sejam . Prove que: .