Calcule o trabalho para se deslocar uma partícula no campo de forças
F = 3 x^2 i + (2 x z - y) j + z k
ao longo:
(b) da curva x = 2 t^2, y = t, z = 4 t^2 - t, de t = 0 até t = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de trabalho num campo de forças. A gente tem uma força e precisa calcular o trabalho quando uma partícula se move ao longo da curva dada por , , , de até . Para isso, vamos precisar usar o conceito de integral de linha no cálculo vetorial, que nos permite calcular o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva parametrizada por de até é dado pela integral de linha:
Aqui, é o vetor derivada da posição em relação ao parâmetro .

Passo 3

Vamos agora encontrar . A curva está parametrizada por:
Derivando cada componente em relação a :
Então, o vetor é:

Passo 4

Agora, vamos substituir as expressões de , e em termos de na força :
Substituindo:
Então:

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de até :
Integrando termo a termo:
Substituindo e :

Resposta

O trabalho realizado é aproximadamente unidades de energia.

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