Calcule o trabalho para se deslocar uma partícula no campo de forças
ao longo:
(b) da curva , de até .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de trabalho num campo de forças. A gente tem uma força e precisa calcular o trabalho quando uma partícula se move ao longo da curva dada por , , , de até . Para isso, vamos precisar usar o conceito de integral de linha no cálculo vetorial, que nos permite calcular o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva parametrizada por de até é dado pela integral de linha:
Aqui, é o vetor derivada da posição em relação ao parâmetro .
Passo 3
Vamos agora encontrar . A curva está parametrizada por:
Derivando cada componente em relação a :
Então, o vetor é:
Passo 4
Agora, vamos substituir as expressões de , e em termos de na força :
Substituindo:
Então:
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar :
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão de até :
Integrando termo a termo:
Substituindo e :
Resposta
O trabalho realizado é aproximadamente unidades de energia.