Sejam
e
funções bijetoras. Prove que existe uma função bijetora
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se temos duas funções que são bijetoras,
e
, então conseguimos criar uma nova função que também é bijetora entre os produtos
e
. O conteúdo aqui envolve funções bijetoras e produtos cartesianas. Para resolver, vamos usar as propriedades de funções injetoras e sobrejetoras que definem uma bijeção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função bijetora. Uma função é injetora se cada elemento do domínio se mapeia para um elemento único no contradomínio, ou seja, não tem dois elementos diferentes do domínio que apontam para o mesmo elemento no contradomínio. Ela é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio. Se uma função é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora.
Passo 3
Agora, queremos construir uma função
que seja bijetora. A ideia é combinar as funções
e
para criar
. Vamos definir
assim:
Isso significa que
pega um par
de
e mapeia para um par
em
.
Passo 4
Vamos mostrar que
é injetora. Suponha que
. Então:
Isso implica que:
Como
e
são bijetoras (e, portanto, injetoras), temos:
Logo,
, provando que
é injetora.
Passo 5
Agora, vamos mostrar que
é sobrejetora. PEGUE qualquer par
em
. Como
e
são sobrejetoras, existem
e
tais que:
Portanto,
Isso mostra que todo elemento de
é atingido por algum elemento de
através de
, ou seja,
é sobrejetora.
Resposta
Assim, a função
definida por
é bijetora. Portanto, existe uma função bijetora entre
e
.
Exercícios relacionados
Calcule o trabalho para se deslocar uma partícula no campo de forças
ao longo:
(b) da curva , de
até
.
(b) da curva
O escoamento de um fluido incompressível e estacionário é regido pelo campo vetorial
. Verifique em cada caso se há fontes ou sumidouros em alguma região do espaço.
(b) .
(b)
Seja
uma função e sejam
. Prove que:
.
Seja
a superfície do cubo, determinada pelos seis planos
e orientada para fora. Determine o fluxo
para cada um dos campos abaixo.
(a)
(a)