Sejam f: X -> Z e g: Y -> W funções bijetoras. Prove que existe uma função bijetora X * Y -> Z * W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se temos duas funções que são bijetoras, e , então conseguimos criar uma nova função que também é bijetora entre os produtos e . O conteúdo aqui envolve funções bijetoras e produtos cartesianas. Para resolver, vamos usar as propriedades de funções injetoras e sobrejetoras que definem uma bijeção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função bijetora. Uma função é injetora se cada elemento do domínio se mapeia para um elemento único no contradomínio, ou seja, não tem dois elementos diferentes do domínio que apontam para o mesmo elemento no contradomínio. Ela é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio. Se uma função é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora.

Passo 3

Agora, queremos construir uma função que seja bijetora. A ideia é combinar as funções e para criar . Vamos definir assim:
Isso significa que pega um par de e mapeia para um par em .

Passo 4

Vamos mostrar que é injetora. Suponha que . Então:
Isso implica que:
Como e são bijetoras (e, portanto, injetoras), temos:
Logo, , provando que é injetora.

Passo 5

Agora, vamos mostrar que é sobrejetora. PEGUE qualquer par em . Como e são sobrejetoras, existem e tais que:
Portanto,
Isso mostra que todo elemento de é atingido por algum elemento de através de , ou seja, é sobrejetora.

Resposta

Assim, a função definida por é bijetora. Portanto, existe uma função bijetora entre e .

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