O escoamento de um fluido incompressível e estacionário é regido pelo campo vetorial
. Verifique em cada caso se há fontes ou sumidouros em alguma região do espaço.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o escoamento de um fluido incompressível e estacionário, descrito pelo campo vetorial
. Nosso objetivo aqui é descobrir se existem fontes ou sumidouros em alguma região do espaço para o campo vetorial dado:
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de divergência do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são fontes e sumidouros. Em termos de fluxo de fluido, uma fonte é um ponto onde o fluido está sendo gerado (divergência positiva), e um sumidouro é onde o fluido está sendo absorvido (divergência negativa). A divergência de um campo vetorial nos ajuda a identificar esses pontos.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Para o nosso campo:
Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência é:
Passo 4
Com a divergência calculada,
, vamos analisar onde ela é positiva, negativa ou zero:
- Divergência positiva (
): Indica presença de fontes. - Divergência negativa (
): Indica presença de sumidouros. - Divergência zero (
): Não há fonte nem sumidouro.
Passo 5
Portanto, para o campo vetorial dado:
- Existe uma fonte nas regiões onde
. - Existe um sumidouro nas regiões onde
. - Nas regiões onde
, não há fonte nem sumidouro.
Resposta
O campo vetorial
possui fontes nas regiões onde
e sumidouros onde
do espaço.
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Seja
uma função. Considere a função
definida por
para todo
. Prove que
é sobrejetora.
Determine se cada uma das funções a seguir é injetora ou não.
.
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ao longo:
(b) da curva , de
até
.
(b) da curva
Sejam
e
funções bijetoras. Prove que existe uma função bijetora
.