O escoamento de um fluido incompressível e estacionário é regido pelo campo vetorial v. Verifique em cada caso se há fontes ou sumidouros em alguma região do espaço.
(b) v(x, y, z) = x y i - x y j + y^2 k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o escoamento de um fluido incompressível e estacionário, descrito pelo campo vetorial v. Nosso objetivo aqui é descobrir se existem fontes ou sumidouros em alguma região do espaço para o campo vetorial dado: v(x, y, z) = x y i - x y j + y^2 k. Para isso, vamos precisar usar o conceito de divergência do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são fontes e sumidouros. Em termos de fluxo de fluido, uma fonte é um ponto onde o fluido está sendo gerado (divergência positiva), e um sumidouro é onde o fluido está sendo absorvido (divergência negativa). A divergência de um campo vetorial nos ajuda a identificar esses pontos.

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência do campo vetorial v(x, y, z). A divergência de um campo vetorial é dada por:
Para o nosso campo:
Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência é:

Passo 4

Com a divergência calculada, , vamos analisar onde ela é positiva, negativa ou zero:
  • Divergência positiva ( ): Indica presença de fontes.
  • Divergência negativa ( ): Indica presença de sumidouros.
  • Divergência zero ( ): Não há fonte nem sumidouro.

Passo 5

Portanto, para o campo vetorial dado:
  • Existe uma fonte nas regiões onde .
  • Existe um sumidouro nas regiões onde .
  • Nas regiões onde , não há fonte nem sumidouro.

Resposta

O campo vetorial v(x, y, z) = x y i - x y j + y^2 k possui fontes nas regiões onde e sumidouros onde do espaço.

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