Seja
uma função e sejam
. Prove que:
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
e dois subconjuntos
e
de
. Precisamos provar que o inverso de
menos
através de
é igual a
menos o inverso de
através de
. O conteúdo envolvido aqui é o de funções e conjuntos, especificamente a propriedade dos inversos de funções em relação a complementos de conjuntos. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam os inversos de funções e as operações com conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o inverso de uma função aplicado a um conjunto. Para um conjunto
, o inverso
é o conjunto de todos os elementos em
que são mapeados para algum elemento em
pela função
. Matematicamente, isso é:
Passo 3
Agora, queremos entender o que é
. O conjunto
representa todos os elementos de
que não estão em
. Portanto,
Passo 4
Por outro lado, vamos analisar
. O conjunto
é o conjunto de todos os
em
que são mapeados para algum elemento em
. Assim,
Isso significa que
não está em
, ou seja,
Passo 5
Comparando as duas expressões que obtivemos:
Portanto, mostramos que os dois conjuntos são iguais.