Seja f: → Y uma função e sejam U, V ⊆ Y. Prove que: f^(-1)(Y \ U) = X \ f^(-1)(U).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e dois subconjuntos e de . Precisamos provar que o inverso de menos através de é igual a menos o inverso de através de . O conteúdo envolvido aqui é o de funções e conjuntos, especificamente a propriedade dos inversos de funções em relação a complementos de conjuntos. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam os inversos de funções e as operações com conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o inverso de uma função aplicado a um conjunto. Para um conjunto , o inverso é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para algum elemento em pela função . Matematicamente, isso é:

Passo 3

Agora, queremos entender o que é . O conjunto representa todos os elementos de que não estão em . Portanto,

Passo 4

Por outro lado, vamos analisar . O conjunto é o conjunto de todos os em que são mapeados para algum elemento em . Assim,
Isso significa que não está em , ou seja,

Passo 5

Comparando as duas expressões que obtivemos:
Portanto, mostramos que os dois conjuntos são iguais.

Resposta

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