A temperatura em um ponto é dada por:
Determine a taxa de variação da temperatura no ponto em direção ao ponto ( . (10 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que nos dá a temperatura em um ponto :
Queremos descobrir como a temperatura está mudando no ponto na direção do ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que faz parte do estudo de cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor que indica a direção de para . Isso é feito subtraindo as coordenadas de das coordenadas de :
Esse vetor nos dá a direção na qual queremos calcular a taxa de variação da temperatura.

Passo 3

Agora, vamos normalizar esse vetor para obter um vetor unitário, que tem comprimento 1. Isso é importante porque a derivada direcional usa um vetor de direção unitário. A fórmula para a normalização é:
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o gradiente da função temperatura . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais de em relação a , e :
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
Para :
Para :
Para :
Então, o gradiente é:

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituímos , e na expressão do gradiente:
Calculando o expoente:
Então:

Passo 6

Finalmente, para encontrar a taxa de variação da temperatura na direção de , calculamos o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Substituindo os valores:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:

Resposta

A taxa de variação da temperatura no ponto na direção do ponto é:

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