A temperatura em um ponto
é dada por:
Determine a taxa de variação da temperatura no ponto
em direção ao ponto (
. (10 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que nos dá a temperatura em um ponto
:
Queremos descobrir como a temperatura está mudando no ponto
na direção do ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que faz parte do estudo de cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor que indica a direção de
para
. Isso é feito subtraindo as coordenadas de
das coordenadas de
:
Esse vetor
nos dá a direção na qual queremos calcular a taxa de variação da temperatura.
Passo 3
Agora, vamos normalizar esse vetor para obter um vetor unitário, que tem comprimento 1. Isso é importante porque a derivada direcional usa um vetor de direção unitário. A fórmula para a normalização é:
Primeiro, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular o gradiente da função temperatura
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
Para
:
Para
:
Para
:
Então, o gradiente é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituímos
,
e
na expressão do gradiente:
Calculando o expoente:
Então:
Passo 6
Finalmente, para encontrar a taxa de variação da temperatura na direção de
, calculamos o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Substituindo os valores:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Resposta
A taxa de variação da temperatura no ponto
na direção do ponto
é:
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e
Determine os pontos do cone
que estão mais próximos do ponto (
). Onde
Calcule o trabalho para se deslocar uma partícula no campo de forças
ao longo:
(a) da reta que liga a
.
(a) da reta que liga