Calcule o trabalho para se deslocar uma partícula no campo de forças
ao longo:
© da curva definida por
, de
até
.
© da curva definida por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o trabalho feito por uma força quando uma partícula se move ao longo de uma curva específica. A matéria aqui é de Cálculo Vetorial, mais precisamente sobre trabalho e integrais de linha. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular a integral do produto escalar da força pela derivada da posição ao longo da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva pela qual a partícula está se movendo. A curva é definida pelas equações:
Como queremos expressar tudo em termos de uma única variável, vamos escolher
como nosso parâmetro. Assim, podemos resolver as equações para
e
em função de
:
Então, a posição da partícula ao longo da curva pode ser escrita como:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da posição em relação a
, que nos dá o vetor tangente à curva:
Passo 4
A força dada é:
Vamos substituir
e
pelas expressões que encontramos em função de
:
Simplificando:
Passo 5
O trabalho
feito pela força ao longo da curva é dado pela integral de linha:
Como parametrizamos a curva por
, podemos reescrever a integral em termos de
:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando cada termo:
Vamos combinar os termos com o mesmo grau de
:
Passo 7
Agora, integramos expressão resultante de
a
:
Calculando cada integral separadamente:
Resposta
Somando todos os resultados: