Calcule o trabalho para se deslocar uma partícula no campo de forças
ao longo:
© da curva definida por , de até .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o trabalho feito por uma força quando uma partícula se move ao longo de uma curva específica. A matéria aqui é de Cálculo Vetorial, mais precisamente sobre trabalho e integrais de linha. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular a integral do produto escalar da força pela derivada da posição ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva pela qual a partícula está se movendo. A curva é definida pelas equações:
Como queremos expressar tudo em termos de uma única variável, vamos escolher como nosso parâmetro. Assim, podemos resolver as equações para e em função de :
Então, a posição da partícula ao longo da curva pode ser escrita como:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da posição em relação a , que nos dá o vetor tangente à curva:

Passo 4

A força dada é:
Vamos substituir e pelas expressões que encontramos em função de :
Simplificando:

Passo 5

O trabalho feito pela força ao longo da curva é dado pela integral de linha:
Como parametrizamos a curva por , podemos reescrever a integral em termos de :

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar :
Simplificando cada termo:
Vamos combinar os termos com o mesmo grau de :

Passo 7

Agora, integramos expressão resultante de a :
Calculando cada integral separadamente:

Resposta

Somando todos os resultados:

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