Seja
uma função e considere a coleção
Prove que
é uma partição de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar que a coleção
é uma partição de
. Aqui estamos trabalhando com funções e partições de conjuntos. Para isso, precisamos entender o que é uma partição e como a função
cria subconjuntos dentro de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma partição de um conjunto. Uma partição de
é uma coleção de subconjuntos não vazios de
que são mutuamente disjuntos (ou seja, não têm elementos em comum) e que cobrem todo o conjunto
(ninguém fica de fora). Então, para provar que
é uma partição, precisamos mostrar três coisas:
- Cada subconjunto
não está vazio. - Os subconjuntos são mutuamente disjuntos.
- A união de todos os subconjuntos é igual a
.
Passo 3
Vamos por partes. Primeiro, consideramos cada subconjunto
. Esse conjunto contém todos os elementos
que são mapeados para
por
, ou seja,
.
Cobertura de
: Para todo
, existe pelo menos um
tal que
. Portanto, cada elemento de
está em pelo menos um dos subconjuntos
. Isso significa que a união de todos esses subconjuntos cobre todo o conjunto
.
Passo 4
Agora, vamos ver se os subconjuntos são mutuamente disjuntos. Suponha que exista um elemento
que pertence a dois subconjuntos diferentes, digamos
e
com
. Isso implicaria que
e
ao mesmo tempo, o que é impossível porque uma função não pode atribuir dois valores diferentes a um mesmo elemento. Logo, os subconjuntos não têm elementos em comum, sendo mutuamente disjuntos.
Passo 5
Por fim, precisamos garantir que cada subconjunto
não está vazio. Isso é verdade se e somente se a função
é sobrejetora, ou seja, cada elemento de
é imagem de pelo menos um elemento de
. Se
não for sobrejetora, alguns subconjuntos
podem estar vazios, mas como a construção padrão de partição considera apenas os subconjuntos não vazios, podemos ignorar esses casos vazios.
Resposta
Assim, comprovamos que a coleção
satisfaz todas as condições para ser uma partição de
. Ou seja,
é uma partição de
.
Exercícios relacionados
Prove que se
é uma relação de equivalência em
, então o quociente
é uma partição de
.
Use o Teorema da Divergência para provar que se
e
denota o volume do sólido de área superficial
, então o fluxo de
através de
é dado por:
Seja
um conjunto e seja
uma relação de equivalência em
. Prove que a função quociente
é sobrejetora.
Calcule o trabalho para se deslocar uma partícula no campo de forças
ao longo:
© da curva definida por , de
até
.
© da curva definida por