Seja uma função e considere a coleção
Prove que é uma partição de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar que a coleção é uma partição de . Aqui estamos trabalhando com funções e partições de conjuntos. Para isso, precisamos entender o que é uma partição e como a função cria subconjuntos dentro de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma partição de um conjunto. Uma partição de é uma coleção de subconjuntos não vazios de que são mutuamente disjuntos (ou seja, não têm elementos em comum) e que cobrem todo o conjunto (ninguém fica de fora). Então, para provar que é uma partição, precisamos mostrar três coisas:
  1. Cada subconjunto não está vazio.
  2. Os subconjuntos são mutuamente disjuntos.
  3. A união de todos os subconjuntos é igual a .

Passo 3

Vamos por partes. Primeiro, consideramos cada subconjunto . Esse conjunto contém todos os elementos que são mapeados para por , ou seja, .
Cobertura de : Para todo , existe pelo menos um tal que . Portanto, cada elemento de está em pelo menos um dos subconjuntos . Isso significa que a união de todos esses subconjuntos cobre todo o conjunto .

Passo 4

Agora, vamos ver se os subconjuntos são mutuamente disjuntos. Suponha que exista um elemento que pertence a dois subconjuntos diferentes, digamos e com . Isso implicaria que e ao mesmo tempo, o que é impossível porque uma função não pode atribuir dois valores diferentes a um mesmo elemento. Logo, os subconjuntos não têm elementos em comum, sendo mutuamente disjuntos.

Passo 5

Por fim, precisamos garantir que cada subconjunto não está vazio. Isso é verdade se e somente se a função é sobrejetora, ou seja, cada elemento de é imagem de pelo menos um elemento de . Se não for sobrejetora, alguns subconjuntos podem estar vazios, mas como a construção padrão de partição considera apenas os subconjuntos não vazios, podemos ignorar esses casos vazios.

Resposta

Assim, comprovamos que a coleção satisfaz todas as condições para ser uma partição de . Ou seja, é uma partição de .

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