Seja
um conjunto e seja
uma relação de equivalência em
. Prove que a função quociente
é sobrejetora.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para provar que, dado um conjunto
e uma relação de equivalência
em
, a função quociente
é sobrejetora.
Aqui, estamos lidando com relações de equivalência e funções sobrejetoras. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência, como funciona a função quociente e o que significa uma função ser sobrejetora.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é uma relação de equivalência. Uma relação
em
é chamada de equivalência se ela for reflexiva, simétrica e transitiva:
- Reflexiva: Para todo
, . - Simétrica: Se
, então . - Transitiva: Se
e , então .
Essas propriedades nos permitem agrupar os elementos de
em classes de equivalência.
Passo 3
A função quociente
mapeia cada elemento
de
para sua classe de equivalência correspondente
em
. Ou seja,
Aqui,
representa o conjunto de todas as classes de equivalência de
sob a relação
.
Passo 4
Agora, vamos lembrar o que significa uma função ser sobrejetora (ou sobre). Uma função
é sobrejetora se, para todo elemento
em
, existe pelo menos um elemento
em
tal que
.
No nosso caso, queremos mostrar que para toda classe de equivalência
em
, existe pelo menos um
em
tal que
.
Passo 5
Vamos então provar que
é sobrejetora. Tome qualquer classe de equivalência
em
. Precisamos encontrar um elemento
em
tal que
.
Bem, podemos simplesmente escolher
. Então,
Isso mostra que para qualquer
em
, existe um
em
(no caso,
) tal que
.
Resposta
Portanto, a função quociente
é sobrejetora.
Exercícios relacionados
Seja
uma função e considere a coleção
Prove que
é uma partição de
.
Prove que se
é uma relação de equivalência em
, então o quociente
é uma partição de
.
Calcule o trabalho para se deslocar uma partícula no campo de forças
ao longo:
© da curva definida por , de
até
.
© da curva definida por
Considere o conjunto
ordenado pela divisibilidade (ou seja,
divide
). Determine os elementos minimais e maximais desse conjunto.