Seja um conjunto e seja uma relação de equivalência em . Prove que a função quociente é sobrejetora.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para provar que, dado um conjunto e uma relação de equivalência em , a função quociente é sobrejetora.
Aqui, estamos lidando com relações de equivalência e funções sobrejetoras. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência, como funciona a função quociente e o que significa uma função ser sobrejetora.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma relação de equivalência. Uma relação em é chamada de equivalência se ela for reflexiva, simétrica e transitiva:
  • Reflexiva: Para todo , .
  • Simétrica: Se , então .
  • Transitiva: Se e , então .
Essas propriedades nos permitem agrupar os elementos de em classes de equivalência.

Passo 3

A função quociente mapeia cada elemento de para sua classe de equivalência correspondente em . Ou seja,
Aqui, representa o conjunto de todas as classes de equivalência de sob a relação .

Passo 4

Agora, vamos lembrar o que significa uma função ser sobrejetora (ou sobre). Uma função é sobrejetora se, para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que .
No nosso caso, queremos mostrar que para toda classe de equivalência em , existe pelo menos um em tal que .

Passo 5

Vamos então provar que é sobrejetora. Tome qualquer classe de equivalência em . Precisamos encontrar um elemento em tal que .
Bem, podemos simplesmente escolher . Então,
Isso mostra que para qualquer em , existe um em (no caso, ) tal que .

Resposta

Portanto, a função quociente é sobrejetora.

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ao longo:
© da curva definida por , de até .
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