Considere o conjunto
ordenado pela divisibilidade (ou seja,
divide
). Determine os elementos minimais e maximais desse conjunto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os elementos minimais e maximais do conjunto
quando ordenados pela divisibilidade. Isso significa que vamos olhar quais números dividem outros dentro do conjunto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são elementos minimais e maximais numa ordem como essa e verificar as relações de divisibilidade entre os números.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são elementos minimais e maximais:
- Elemento Minimais: São aqueles que não são divididos por nenhum outro elemento do conjunto, exceto por si mesmos.
- Elemento Maximais: São aqueles que não dividem nenhum outro elemento do conjunto, exceto por si mesmos.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada número do conjunto para ver quem divide quem:
- 2: Divide 4, 10, 12, 20
- 4: Divide 20, 12
- 5: Divide 10, 20, 25
- 10: Divide 20
- 12: Não divide nenhum outro número no conjunto
- 20: Não divide nenhum outro número no conjunto
- 25: Não divide nenhum outro número no conjunto
Passo 4
Com base nisso, vamos identificar os elementos minimais:
Um elemento minimal não é dividido por nenhum outro exceto ele mesmo. Vamos ver:
- 2: É dividido apenas por ele mesmo e não por nenhum outro número menor que ele no conjunto.
- 4: É dividido por 2.
- 5: Não é dividido por nenhum outro número no conjunto.
- 10: É dividido por 2 e por 5.
- 12: É dividido por 2 e por 4.
- 20: É dividido por 2, 4, 5 e 10.
- 25: É dividido por 5.
Então, os elementos minimais são 2 e 5.
Passo 5
Agora, vamos identificar os elementos maximais:
Um elemento maximal não divide nenhum outro exceto ele mesmo. Vamos ver:
- 2: Divide vários números, então não é maximal.
- 4: Divide 20 e 12, então não é maximal.
- 5: Divide 10, 20 e 25, então não é maximal.
- 10: Divide 20, então não é maximal.
- 12: Não divide nenhum outro número no conjunto.
- 20: Não divide nenhum outro número no conjunto.
- 25: Não divide nenhum outro número no conjunto.
Então, os elementos maximais são 12, 20 e 25.
Resposta
Os elementos minimais do conjunto são 2 e 5, e os elementos maximais são 12, 20 e 25.
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até
.
© da curva definida por
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Considere o conjunto
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.