Considere o conjunto ordenado pela divisibilidade (ou seja, divide ). Determine os elementos minimais e maximais desse conjunto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os elementos minimais e maximais do conjunto quando ordenados pela divisibilidade. Isso significa que vamos olhar quais números dividem outros dentro do conjunto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são elementos minimais e maximais numa ordem como essa e verificar as relações de divisibilidade entre os números.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são elementos minimais e maximais:
  • Elemento Minimais: São aqueles que não são divididos por nenhum outro elemento do conjunto, exceto por si mesmos.
  • Elemento Maximais: São aqueles que não dividem nenhum outro elemento do conjunto, exceto por si mesmos.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada número do conjunto para ver quem divide quem:
  • 2: Divide 4, 10, 12, 20
  • 4: Divide 20, 12
  • 5: Divide 10, 20, 25
  • 10: Divide 20
  • 12: Não divide nenhum outro número no conjunto
  • 20: Não divide nenhum outro número no conjunto
  • 25: Não divide nenhum outro número no conjunto

Passo 4

Com base nisso, vamos identificar os elementos minimais:
Um elemento minimal não é dividido por nenhum outro exceto ele mesmo. Vamos ver:
  • 2: É dividido apenas por ele mesmo e não por nenhum outro número menor que ele no conjunto.
  • 4: É dividido por 2.
  • 5: Não é dividido por nenhum outro número no conjunto.
  • 10: É dividido por 2 e por 5.
  • 12: É dividido por 2 e por 4.
  • 20: É dividido por 2, 4, 5 e 10.
  • 25: É dividido por 5.
Então, os elementos minimais são 2 e 5.

Passo 5

Agora, vamos identificar os elementos maximais:
Um elemento maximal não divide nenhum outro exceto ele mesmo. Vamos ver:
  • 2: Divide vários números, então não é maximal.
  • 4: Divide 20 e 12, então não é maximal.
  • 5: Divide 10, 20 e 25, então não é maximal.
  • 10: Divide 20, então não é maximal.
  • 12: Não divide nenhum outro número no conjunto.
  • 20: Não divide nenhum outro número no conjunto.
  • 25: Não divide nenhum outro número no conjunto.
Então, os elementos maximais são 12, 20 e 25.

Resposta

Os elementos minimais do conjunto são 2 e 5, e os elementos maximais são 12, 20 e 25.

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