Considere
e
e
. Determine
usando a regra da cadeia.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a derivada de
em relação a
, onde
, com
e
. Vamos usar a regra da cadeia para resolver isso. A regra da cadeia é uma técnica de derivação que nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar como
depende de
e
, e como
e
dependem de
. Já temos:
Queremos encontrar
.
Passo 3
Pela regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Isso porque, ao derivar
em relação a
, tratamos
como constante e vice-versa.
Passo 5
Agora, vamos derivar
e
em relação a
:
Passo 6
Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
Podemos fatorar
para simplificar:
Passo 7
Agora, substituímos
e
:
Então:
Podemos fatorar
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: