Considere z = g(x, y) = sen(x y) e x = e^t e y = ln(t). Determine d/z dt usando a regra da cadeia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a derivada de em relação a , onde , com e . Vamos usar a regra da cadeia para resolver isso. A regra da cadeia é uma técnica de derivação que nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar como depende de e , e como e dependem de . Já temos:
Queremos encontrar .

Passo 3

Pela regra da cadeia, a derivada de em relação a é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular e :
Isso porque, ao derivar em relação a , tratamos como constante e vice-versa.

Passo 5

Agora, vamos derivar e em relação a :

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
Podemos fatorar para simplificar:

Passo 7

Agora, substituímos e :
Então:
Podemos fatorar :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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