Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças de
ao deslocar um corpo sobre o quadrilátero de vértices
e
, orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo de forças definido por
. A tarefa é calcular o trabalho realizado por esse campo quando um corpo se move ao longo de um quadrilátero com vértices em
,
,
e
, seguindo a orientação anti-horária. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha para calcular o trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de forças
ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha:
Aqui,
indica que estamos integrando ao longo de um caminho fechado, e
é o produto escalar entre o campo de forças e o elemento de deslocamento.
Passo 3
Vamos analisar o campo de forças dado:
Observamos que esse campo tem uma forma que lembra um campo rotacional ao redor da origem. É importante notar que o denominador
indica que o campo não está definido na origem
, onde ocorre uma singularidade.
Passo 4
Para calcular a integral de linha, podemos verificar se o campo é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. No entanto, campos que apresentam singularidades, como o nosso, geralmente não são conservativos em todo o domínio.
Outra abordagem é usar o teorema de Green, que relaciona a integral de linha sobre um caminho fechado à integral dupla sobre a região limitada por esse caminho:
Onde
. Vamos calcular
e
.
Passo 5
Identificando
e
no nosso campo:
Calculando as derivadas parciais:
Subtraindo as duas derivadas:
Passo 6
O resultado acima indica que a integral dupla é zero:
Portanto, segundo o teorema de Green, a integral de linha também é zero:
Passo 7
No entanto, devemos considerar a existência de singularidades dentro do caminho
. Como o campo
não está definido na origem e o caminho
(quadrilátero) envolve a origem, o teorema de Green não se aplica diretamente sem levar em conta a contribuição da singularidade.
Sabemos que o campo dado é similar ao campo angular que gera uma circulação em torno da origem. A integral de circulação desse campo ao redor de um caminho fechado que envolve a singularidade é igual a
.
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças ao deslocar o corpo ao longo do quadrilátero é
unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
Considere o conjunto
e
.
a) Escreva em coordenadas cilíndricas.
a) Escreva
Considere o campo vetorial
e a curva
.
a) Calcule a área da região delimitada pela curva .
a) Calcule a área da região delimitada pela curva
Considere
e
como nas hipóteses do Teorema de Green.
a) Prove que .
a) Prove que
Considere a curva
com
.
a) Se representa um arame com densidade linear de massa
, determine a massa desse arame.
a) Se