Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças de F(x, y) = -y/(x^2+y^2) i + x/(x^2+y^2) j ao deslocar um corpo sobre o quadrilátero de vértices (1,0), (0,1), (-1,0) e (0, -1), orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo de forças definido por . A tarefa é calcular o trabalho realizado por esse campo quando um corpo se move ao longo de um quadrilátero com vértices em 1,0, 0,1, (-1, 0) e (0, -1), seguindo a orientação anti-horária. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha para calcular o trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de forças F ao longo de um caminho C é dado pela integral de linha:
Aqui, indica que estamos integrando ao longo de um caminho fechado, e é o produto escalar entre o campo de forças e o elemento de deslocamento.

Passo 3

Vamos analisar o campo de forças dado:
Observamos que esse campo tem uma forma que lembra um campo rotacional ao redor da origem. É importante notar que o denominador indica que o campo não está definido na origem (0,0), onde ocorre uma singularidade.

Passo 4

Para calcular a integral de linha, podemos verificar se o campo é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial phi tal que . No entanto, campos que apresentam singularidades, como o nosso, geralmente não são conservativos em todo o domínio.
Outra abordagem é usar o teorema de Green, que relaciona a integral de linha sobre um caminho fechado à integral dupla sobre a região limitada por esse caminho:
Onde . Vamos calcular e .

Passo 5

Identificando P e Q no nosso campo:
Calculando as derivadas parciais:
Subtraindo as duas derivadas:

Passo 6

O resultado acima indica que a integral dupla é zero:
Portanto, segundo o teorema de Green, a integral de linha também é zero:

Passo 7

No entanto, devemos considerar a existência de singularidades dentro do caminho C. Como o campo F não está definido na origem e o caminho C (quadrilátero) envolve a origem, o teorema de Green não se aplica diretamente sem levar em conta a contribuição da singularidade.
Sabemos que o campo dado é similar ao campo angular que gera uma circulação em torno da origem. A integral de circulação desse campo ao redor de um caminho fechado que envolve a singularidade é igual a .

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças ao deslocar o corpo ao longo do quadrilátero é unidades de trabalho.

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