Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
em uma partícula que se desloca ao longo do arco da parábola do ponto até o ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular o trabalho feito pelo campo de forças quando uma partícula se move ao longo da parábola do ponto até . Para isso, vamos usar o conceito de integral de linha no cálculo vetorial. Precisamos parametrizar o caminho da partícula e então aplicar a integral para encontrar o trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva pela qual a partícula se move. A parábola é dada por , então podemos usar como parâmetro. Vamos chamar esse parâmetro de , onde varia de a (já que esses são os valores de dos pontos inicial e final).
Então, nossa parametrização fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dá o vetor velocidade ao longo do caminho:

Passo 4

Em seguida, vamos substituir os valores de e na função usando a parametrização que fizemos:

Passo 5

O trabalho é calculado pela integral de linha do campo ao longo do caminho :
Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Calculando nos limites:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças é unidades de trabalho.

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Encontre uma curva fechada simples com orientação anti-horária que minimize o valor de
Sugestão: use o Teorema de Green.
Figura 2: Gráfico da função , produzido no GeoGebra 3D. Clique aquil para visualizar o gráfico no seu navegador.
Considere o campo vetorial . Calcule
onde é a fronteira da região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo de equação e os eixos coordenados, percorrida no sentido anti-horário.
A curva que delimita a região hachurada na figura abaixo é conhecida como astroide. Um astroide pode ser obtido fazendo um círculo rodar sem deslizar sobre outro círculo, como pode ser visto nessa animação aqui.
Possíveis equações paramétricas para o astroide são
onde o parâmetro varia no intervalo . Determine a área da região hachurada.
Dica: Utilize o Teorema de Green. Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Considere o campo vetorial . Calcule
onde é a fronteira da região do primeiro quadrante situada entre os círculos , percorrida no sentido anti-horário.