Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
em uma partícula que se desloca ao longo do arco da parábola
do ponto
até o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular o trabalho feito pelo campo de forças
quando uma partícula se move ao longo da parábola
do ponto
até
. Para isso, vamos usar o conceito de integral de linha no cálculo vetorial. Precisamos parametrizar o caminho da partícula e então aplicar a integral para encontrar o trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva pela qual a partícula se move. A parábola é dada por
, então podemos usar
como parâmetro. Vamos chamar esse parâmetro de
, onde
varia de
a
(já que esses são os valores de
dos pontos inicial e final).
Então, nossa parametrização fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor velocidade ao longo do caminho:
Passo 4
Em seguida, vamos substituir os valores de
e
na função
usando a parametrização que fizemos:
Passo 5
O trabalho
é calculado pela integral de linha do campo
ao longo do caminho
:
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
:
Calculando nos limites:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças é
unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
Encontre uma curva fechada simples
com orientação anti-horária que minimize o valor de
Sugestão: use o Teorema de Green.
Figura 2: Gráfico da função
, produzido no GeoGebra 3D. Clique aquil para visualizar o gráfico no seu navegador.
Considere o campo vetorial
. Calcule
onde
é a fronteira da região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo de equação
e os eixos coordenados, percorrida no sentido anti-horário.
A curva que delimita a região hachurada na figura abaixo é conhecida como astroide. Um astroide pode ser obtido fazendo um círculo rodar sem deslizar sobre outro círculo, como pode ser visto nessa animação aqui.
Possíveis equações paramétricas para o astroide são
onde o parâmetro
varia no intervalo
. Determine a área da região hachurada.
Dica: Utilize o Teorema de Green. Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Dica: Utilize o Teorema de Green. Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Considere o campo vetorial
. Calcule
onde
é a fronteira da região do primeiro quadrante situada entre os círculos
, percorrida no sentido anti-horário.