Considere o campo vetorial
. Calcule
onde
é a fronteira da região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo de equação
e os eixos coordenados, percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
No enunciado, temos o campo vetorial
. Precisamos calcular a integral de linha fechada
onde
é a fronteira da região no primeiro quadrante delimitada pelo círculo
e pelos eixos coordenados, percorrida no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
O Teorema de Green nos diz que:
onde
e
é a região delimitada por
.
Passo 3
Identificando
e
do campo vetorial:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Para resolver a integral dupla, é mais fácil usar coordenadas polares devido à simetria circular da região
. Nas coordenadas polares:
Os limites de integração são:
Passo 6
Substituindo na integral dupla:
Passo 7
Primeiro, resolvemos a integral em relação a
:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral em relação a
:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Usando o Teorema de Green, calcule a integral de linha
onde
é o contorno poligonal fechado, percorrido no sentido anti-horário, formado pelas retas de equações
e
.
Figura 1: região do exercício 11
Utilize o Teorema de Green para calcular a área delimitada pela elipse
.
Encontre uma curva fechada simples
com orientação anti-horária que minimize o valor de
Sugestão: use o Teorema de Green.
Figura 2: Gráfico da função
, produzido no GeoGebra 3D. Clique aquil para visualizar o gráfico no seu navegador.
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
em uma partícula que se desloca ao longo do arco da parábola
do ponto
até o ponto
.