Considere o campo vetorial F(x, y)=lang<= x^2 y-x^3, y^2-x y^2rang<=. Calcule
ointC F cdot d r
onde C é a fronteira da região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo de equação x^2+y^2=16 e os eixos coordenados, percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

No enunciado, temos o campo vetorial F(x, y)=lang<= x^2 y - x^3, y^2 - x y^2rang<=. Precisamos calcular a integral de linha fechada
ointC F cdot d r
onde C é a fronteira da região no primeiro quadrante delimitada pelo círculo x^2+y^2=16 e pelos eixos coordenados, percorrida no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

O Teorema de Green nos diz que:
ointC F cdot d r = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dA
onde F = lang<= M, N rang<= e D é a região delimitada por C.

Passo 3

Identificando M e N do campo vetorial:
M = x^2 y - x^3
N = y^2 - x y^2
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Npartial x = -y^2
partial Mpartial y = x^2

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
partial Npartial x - partial Mpartial y = -y^2 - x^2 = - (x^2 + y^2)
Então, a integral dupla fica:
integral duplaD - (x^2 + y^2) dA

Passo 5

Para resolver a integral dupla, é mais fácil usar coordenadas polares devido à simetria circular da região D. Nas coordenadas polares:
x = r costheta
y = r sintheta
dA = r dr dtheta
Os limites de integração são:
0 <= r <= 4 (raio do círculo) í
0 <= theta <= pi2 (primeiro quadrante)

Passo 6

Substituindo na integral dupla:
- integral0^pi2 integral0^4 (r^2) cdot r dr dtheta = - integral0^pi2 integral0^4 r^3 dr dtheta

Passo 7

Primeiro, resolvemos a integral em relação a r:
integral0^4 r^3 dr = [ r^44 ]0^4 = 4^44 - 0 = 2564 = 64

Passo 8

Agora, resolvemos a integral em relação a theta:
- integral0^pi2 64 dtheta = -64 [ theta ]0^pi2 = -64 cdot pi2 = -32pi

Resposta

A integral de linha é igual a -32pi.

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