Considere o campo vetorial . Calcule
onde é a fronteira da região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo de equação e os eixos coordenados, percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

No enunciado, temos o campo vetorial . Precisamos calcular a integral de linha fechada
onde é a fronteira da região no primeiro quadrante delimitada pelo círculo e pelos eixos coordenados, percorrida no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

O Teorema de Green nos diz que:
onde e é a região delimitada por .

Passo 3

Identificando e do campo vetorial:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Para resolver a integral dupla, é mais fácil usar coordenadas polares devido à simetria circular da região . Nas coordenadas polares:
Os limites de integração são:
í

Passo 6

Substituindo na integral dupla:

Passo 7

Primeiro, resolvemos a integral em relação a :

Passo 8

Agora, resolvemos a integral em relação a :

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados

Usando o Teorema de Green, calcule a integral de linha
onde é o contorno poligonal fechado, percorrido no sentido anti-horário, formado pelas retas de equações e .
Figura 1: região do exercício 11
Utilize o Teorema de Green para calcular a área delimitada pela elipse .
Encontre uma curva fechada simples com orientação anti-horária que minimize o valor de
Sugestão: use o Teorema de Green.
Figura 2: Gráfico da função , produzido no GeoGebra 3D. Clique aquil para visualizar o gráfico no seu navegador.
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
em uma partícula que se desloca ao longo do arco da parábola do ponto até o ponto .