A curva que delimita a região hachurada na figura abaixo é conhecida como astroide. Um astroide pode ser obtido fazendo um círculo rodar sem deslizar sobre outro círculo, como pode ser visto nessa animação aqui.
Possíveis equações paramétricas para o astroide são
onde o parâmetro varia no intervalo . Determine a área da região hachurada.
Dica: Utilize o Teorema de Green. Podem ser úteis as identidades trigonométricas

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a área da região delimitada por uma curva chamada astroide. A astroide é definida pelas equações paramétricas:
onde varia de a . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que ela delimita. Além disso, vamos precisar das identidades trigonométricas:

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green. Esse teorema diz que a área de uma região fechada pode ser calculada usando a seguinte integral de linha:
Onde é a curva fechada que delimita a região.

Passo 3

Agora, precisamos expressar e em termos de . Vamos derivar as equações paramétricas em relação a :

Passo 4

Substituindo , , e na fórmula do Teorema de Green:
Simplificando os termos:

Passo 5

Fatorando o 12 e a metade:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que:
E como , temos:
Portanto, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos usar as identidades trigonométricas fornecidas para simplificar e :
Multiplicando essas duas expressões:
E sabemos que , então:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão para :

Passo 9

Calculando a integral:
Então:

Resposta

A área da região hachurada é unidades de área.

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Sugestão: use o Teorema de Green.
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