A curva que delimita a região hachurada na figura abaixo é conhecida como astroide. Um astroide pode ser obtido fazendo um círculo rodar sem deslizar sobre outro círculo, como pode ser visto nessa animação aqui.
Possíveis equações paramétricas para o astroide são
onde o parâmetro
varia no intervalo
. Determine a área da região hachurada.
Dica: Utilize o Teorema de Green. Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Dica: Utilize o Teorema de Green. Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a área da região delimitada por uma curva chamada astroide. A astroide é definida pelas equações paramétricas:
onde
varia de
a
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que ela delimita. Além disso, vamos precisar das identidades trigonométricas:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green. Esse teorema diz que a área
de uma região fechada pode ser calculada usando a seguinte integral de linha:
Onde
é a curva fechada que delimita a região.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
e
em termos de
. Vamos derivar as equações paramétricas em relação a
:
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na fórmula do Teorema de Green:
Simplificando os termos:
Passo 5
Fatorando o 12 e a metade:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que:
E como , temos:
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos usar as identidades trigonométricas fornecidas para simplificar
e :
Multiplicando essas duas expressões:
E sabemos que
, então:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 9
Calculando a integral:
Então:
Resposta
A área da região hachurada é
unidades de área.