Encontre uma curva fechada simples com orientação anti-horária que minimize o valor de
Sugestão: use o Teorema de Green.
Figura 2: Gráfico da função , produzido no GeoGebra 3D. Clique aquil para visualizar o gráfico no seu navegador.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma curva fechada simples com orientação anti-horária que minimize o valor da seguinte integral de linha:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green da matemática, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. A gente vai precisar entender como aplicar esse teorema para transformar nossa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de analisar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema diz que para uma curva fechada e uma região limitada por , a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre :
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando :
Calculando :
Agora, substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:

Passo 4

Nosso objetivo é minimizar a integral dupla:
Para minimizar essa expressão, precisamos entender onde a função assume valores negativos, porque isso vai reduzir o valor total da integral.
Observando a função , vemos que ela é negativa quando:
Isso descreve o interior de um círculo com raio 2 centrado na origem.

Passo 5

Então, para maximizar a área onde é negativa (e assim minimizar a integral), a melhor escolha para é justamente a região interna desse círculo.
Portanto, a curva que limita deve ser o círculo de raio 2 centrado na origem, ou seja:

Resposta

A curva fechada simples que minimiza a integral dada é o círculo de raio 2 centrado na origem, descrito pela equação:

Exercícios relacionados

Considere o campo vetorial . Calcule
onde é a fronteira da região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo de equação e os eixos coordenados, percorrida no sentido anti-horário.
Usando o Teorema de Green, calcule a integral de linha
onde é o contorno poligonal fechado, percorrido no sentido anti-horário, formado pelas retas de equações e .
Figura 1: região do exercício 11
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
em uma partícula que se desloca ao longo do arco da parábola do ponto até o ponto .
A curva que delimita a região hachurada na figura abaixo é conhecida como astroide. Um astroide pode ser obtido fazendo um círculo rodar sem deslizar sobre outro círculo, como pode ser visto nessa animação aqui.
Possíveis equações paramétricas para o astroide são
onde o parâmetro varia no intervalo . Determine a área da região hachurada.
Dica: Utilize o Teorema de Green. Podem ser úteis as identidades trigonométricas