Encontre uma curva fechada simples
com orientação anti-horária que minimize o valor de
Sugestão: use o Teorema de Green.
Figura 2: Gráfico da função
, produzido no GeoGebra 3D. Clique aquil para visualizar o gráfico no seu navegador.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma curva fechada simples
com orientação anti-horária que minimize o valor da seguinte integral de linha:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green da matemática, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. A gente vai precisar entender como aplicar esse teorema para transformar nossa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de analisar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema diz que para uma curva fechada
e uma região
limitada por
, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre
:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Agora, substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Nosso objetivo é minimizar a integral dupla:
Para minimizar essa expressão, precisamos entender onde a função
assume valores negativos, porque isso vai reduzir o valor total da integral.
Observando a função
, vemos que ela é negativa quando:
Isso descreve o interior de um círculo com raio 2 centrado na origem.
Passo 5
Então, para maximizar a área onde
é negativa (e assim minimizar a integral), a melhor escolha para
é justamente a região interna desse círculo.
Portanto, a curva
que limita
deve ser o círculo de raio 2 centrado na origem, ou seja:
Resposta
A curva fechada simples
que minimiza a integral dada é o círculo de raio 2 centrado na origem, descrito pela equação:
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
. Calcule
onde
é a fronteira da região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo de equação
e os eixos coordenados, percorrida no sentido anti-horário.
Usando o Teorema de Green, calcule a integral de linha
onde
é o contorno poligonal fechado, percorrido no sentido anti-horário, formado pelas retas de equações
e
.
Figura 1: região do exercício 11
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
em uma partícula que se desloca ao longo do arco da parábola
do ponto
até o ponto
.
A curva que delimita a região hachurada na figura abaixo é conhecida como astroide. Um astroide pode ser obtido fazendo um círculo rodar sem deslizar sobre outro círculo, como pode ser visto nessa animação aqui.
Possíveis equações paramétricas para o astroide são
onde o parâmetro
varia no intervalo
. Determine a área da região hachurada.
Dica: Utilize o Teorema de Green. Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Dica: Utilize o Teorema de Green. Podem ser úteis as identidades trigonométricas