Encontre uma curva fechada simples C com orientação anti-horária que minimize o valor de
ointC-y^33 d x+(x^33-4 x) d y
Sugestão: use o Teorema de Green.
Figura 2: Gráfico da função f(x, y)=x^2+y^2-4, produzido no GeoGebra 3D. Clique aquil para visualizar o gráfico no seu navegador.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma curva fechada simples ointC -y^33 , dx + (x^33 - 4x) , dy com orientação anti-horária que minimize o valor da seguinte integral de linha:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green da matemática, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. A gente vai precisar entender como aplicar esse teorema para transformar nossa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de analisar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema diz que para uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA e uma região limitada por , a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre :
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando partial Qpartial x = partialpartial x ( x^33 - 4x ) = x^2 - 4 :
partial Ppartial y = partialpartial y ( -y^33 ) = -y^2
Calculando integral duplaD ( x^2 - 4 - (-y^2) ) , dA = integral duplaD (x^2 + y^2 - 4) , dA :
Agora, substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:

Passo 4

Nosso objetivo é minimizar a integral dupla:
integral duplaD (x^2 + y^2 - 4) , dA
Para minimizar essa expressão, precisamos entender onde a função x^2 + y^2 - 4 < 0 Rightarrow x^2 + y^2 < 4 assume valores negativos, porque isso vai reduzir o valor total da integral.
Observando a função , vemos que ela é negativa quando:
Isso descreve o interior de um círculo com raio 2 centrado na origem.

Passo 5

Então, para maximizar a área onde x^2 + y^2 = 4 é negativa (e assim minimizar a integral), a melhor escolha para é justamente a região interna desse círculo.
Portanto, a curva que limita deve ser o círculo de raio 2 centrado na origem, ou seja:

Resposta

A curva fechada simples x^2 + y^2 = 4 que minimiza a integral dada é o círculo de raio 2 centrado na origem, descrito pela equação:

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