Considere o campo vetorial
. Calcule
onde
é a fronteira da região do primeiro quadrante situada entre os círculos
, percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
. Essa curva
é a fronteira da região no primeiro quadrante entre os círculos
e
, percorrida no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre uma região plana.
Passo 2
Primeiro, o que é o Teorema de Green? Ele nos diz que, para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região
limitada por
:
Isso facilita muito o cálculo!
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Subtraindo essas derivadas:
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região
. Como a região está entre dois círculos no primeiro quadrante, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Em coordenadas polares:
E a área diferencial é:
Os limites para
são de 1 a 2 (já que
e
correspondem a
e
), e para
de 0 a
(primeiro quadrante).
Passo 5
Agora, substituímos
e
em termos de
e
:
Então, a integral dupla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Então, a integral fica:
Agora, resolvemos a integral em
:
Resposta
Multiplicando os resultados:
Então, o valor da integral é
.