Considere o campo vetorial . Calcule
onde é a fronteira da região do primeiro quadrante situada entre os círculos , percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva . Essa curva é a fronteira da região no primeiro quadrante entre os círculos e , percorrida no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre uma região plana.

Passo 2

Primeiro, o que é o Teorema de Green? Ele nos diz que, para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região limitada por :
Isso facilita muito o cálculo!

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Subtraindo essas derivadas:

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região . Como a região está entre dois círculos no primeiro quadrante, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Em coordenadas polares:
E a área diferencial é:
Os limites para são de 1 a 2 (já que e correspondem a e ), e para de 0 a (primeiro quadrante).

Passo 5

Agora, substituímos e em termos de e :
Então, a integral dupla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral em primeiro:
Então, a integral fica:
Agora, resolvemos a integral em :

Resposta

Multiplicando os resultados:
Então, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

A curva que delimita a região hachurada na figura abaixo é conhecida como astroide. Um astroide pode ser obtido fazendo um círculo rodar sem deslizar sobre outro círculo, como pode ser visto nessa animação aqui.
Possíveis equações paramétricas para o astroide são
onde o parâmetro varia no intervalo . Determine a área da região hachurada.
Dica: Utilize o Teorema de Green. Podem ser úteis as identidades trigonométricas
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
em uma partícula que se desloca ao longo do arco da parábola do ponto até o ponto .
Determinar uma função cujo o gráfico passe pelo ponto e tal que a reta tangente no ponto genérico tenha coeficiente angular .
Verifique se as funções e dadas, constituem um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial dada: .