Considere o campo vetorial F(x, y)=lang<= y^2, 3 x yrang<=. Calcule
ointC F cdot d r
onde C é a fronteira da região do primeiro quadrante situada entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4, percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva . Essa curva é a fronteira da região no primeiro quadrante entre os círculos e , percorrida no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre uma região plana.

Passo 2

Primeiro, o que é o Teorema de Green? Ele nos diz que, para um campo vetorial ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA , a integral de linha ao redor de uma curva fechada pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região limitada por :
Isso facilita muito o cálculo!

Passo 3

Vamos identificar P = y^2, Q = 3xy e partial Qpartial x = partialpartial x(3xy) = 3y no nosso campo vetorial:
partial Ppartial y = partialpartial y(y^2) = 2y
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3y - 2y = y
Subtraindo essas derivadas:

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região x = r costheta, y = r sintheta . Como a região está entre dois círculos no primeiro quadrante, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Em coordenadas polares:
dA = r , dr , dtheta
E a área diferencial é:
Os limites para são de 1 a 2 (já que e correspondem a e ), e para de 0 a (primeiro quadrante).

Passo 5

Agora, substituímos y = r sintheta e integral duplaD y , dA = integral0^pi2 integral1^2 (r sintheta) cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral1^2 r^2 sintheta , dr , dtheta em termos de e :
Então, a integral dupla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral em integral1^2 r^2 , dr = [ r^33 ]1^2 = 83 - 13 = 73 primeiro:
73 integral0^pi2 sintheta , dtheta
Então, a integral fica:
integral0^pi2 sintheta , dtheta = [ -costheta ]0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = 0 + 1 = 1
Agora, resolvemos a integral em :

Resposta

Multiplicando os resultados:
73 times 1 = 73
Então, o valor da integral é .

Exercícios relacionados