Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
na partícula que se move o longo da curva C. (Ex 45 a 48)
15.4.
: ao longo de segmentos de reta de
até
até
15.4.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado por um campo de forças
quando uma partícula se move ao longo de uma curva
. Aqui, estamos falando de trabalho realizado por um campo de forças, que é um conceito da física e do cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de trabalho em termos de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela é composta por dois segmentos de reta:
- De
até - De
até
Vamos calcular o trabalho em cada segmento separadamente e depois somar os dois resultados.
Passo 3
A força
é dada por:
O trabalho
realizado por
ao longo de uma curva
é dado por:
Onde
é o vetor de deslocamento infinitesimal ao longo da curva.
Passo 4
Vamos parametrizar cada segmento da curva
.
Segmento 1: De
até
Vamos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1.
Derivando em relação a
:
Segmento 2: De
até
Novamente, usar
de 0 a 1.
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
para cada segmento.
Para o Segmento 1:
Substituímos em
:
Substituímos
Produto escalar com
:
Integrando de 0 a 1:
Para o Segmento 2:
Substituímos em
:
Substituímos
Simplificando:
Produto escalar com
:
Calculando termo a termo:
Simplificando:
Integrando de 0 a 1:
Resposta
O trabalho total realizado pelo campo de forças
ao longo da curva
é: