Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F na partícula que se move o longo da curva C. (Ex 45 a 48)
15.4. F(x, y, z) = (x + y) * i + (x * y) * j - z^2 * k
C : ao longo de segmentos de reta de (0, 0, 0) até 1,3,1 até (2, -1, 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado por um campo de forças quando uma partícula se move ao longo de uma curva . Aqui, estamos falando de trabalho realizado por um campo de forças, que é um conceito da física e do cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de trabalho em termos de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela é composta por dois segmentos de reta:
  1. De até
  2. De até
Vamos calcular o trabalho em cada segmento separadamente e depois somar os dois resultados.

Passo 3

A força é dada por:
O trabalho realizado por ao longo de uma curva é dado por:
Onde é o vetor de deslocamento infinitesimal ao longo da curva.

Passo 4

Vamos parametrizar cada segmento da curva .
Segmento 1: De até
Vamos usar um parâmetro que varia de 0 a 1.
Derivando em relação a :
Segmento 2: De até
Novamente, usar de 0 a 1.
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular para cada segmento.
Para o Segmento 1:
Substituímos em :
Produto escalar com :
Integrando de 0 a 1:
Para o Segmento 2:
Substituímos em :
Simplificando:
Produto escalar com :
Calculando termo a termo:
Simplificando:
Integrando de 0 a 1:

Resposta

O trabalho total realizado pelo campo de forças ao longo da curva é:

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