Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine um período da mesma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a função
é periódica e, se for, determinar um período para ela. Aqui, estamos trabalhando com funções periódicas, que são aquelas que se repetem em intervalos regulares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser periódica e como verificar essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função
é dita periódica se existe um número
tal que, para todo
no domínio da função, vale:
Esse número
é chamado de período da função. Por exemplo, a função
é periódica com período
, porque
para qualquer
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à função
. Queremos saber se existe um
tal que:
para todo
.
Passo 4
Vamos analisar a equação
. Sabemos que
se, e somente se,
ou
, onde
é um número inteiro. Então, temos duas possibilidades:
Passo 5
Vamos examinar a primeira possibilidade:
.
Expandindo o lado esquerdo:
Então:
Simplificando:
Isolando
:
Isso significa que
teria que ser igual a um valor específico para cada
, mas para a função ser periódica, a igualdade deve valer para todos os
, o que não é possível a menos que
, o que não faz sentido no contexto de períodos.
Passo 6
Agora, vamos verificar a segunda possibilidade:
.
Expandindo novamente:
Somando
de ambos os lados:
Simplificando:
Essa é uma equação quadrática em
, e para que exista solução para todos os
, os coeficientes teriam que se ajustar de forma que essa igualdade seja verdadeira para qualquer valor de
, o que claramente não é o caso a menos que
seja zero, novamente sem sentido.
Passo 7
Como não conseguimos encontrar um valor de
que satisfaça a condição para todos os
, concluímos que a função
não é periódica.
Resposta
A função
não é periódica.