Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine um período da mesma.
G(x) = cos(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a função é periódica e, se for, determinar um período para ela. Aqui, estamos trabalhando com funções periódicas, que são aquelas que se repetem em intervalos regulares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser periódica e como verificar essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função é dita periódica se existe um número tal que, para todo no domínio da função, vale:
Esse número é chamado de período da função. Por exemplo, a função é periódica com período , porque para qualquer .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à função . Queremos saber se existe um tal que:
para todo .

Passo 4

Vamos analisar a equação . Sabemos que se, e somente se, ou , onde é um número inteiro. Então, temos duas possibilidades:

Passo 5

Vamos examinar a primeira possibilidade: .
Expandindo o lado esquerdo:
Então:
Simplificando:
Isolando :
Isso significa que teria que ser igual a um valor específico para cada , mas para a função ser periódica, a igualdade deve valer para todos os , o que não é possível a menos que , o que não faz sentido no contexto de períodos.

Passo 6

Agora, vamos verificar a segunda possibilidade: .
Expandindo novamente:
Somando de ambos os lados:
Simplificando:
Essa é uma equação quadrática em , e para que exista solução para todos os , os coeficientes teriam que se ajustar de forma que essa igualdade seja verdadeira para qualquer valor de , o que claramente não é o caso a menos que seja zero, novamente sem sentido.

Passo 7

Como não conseguimos encontrar um valor de que satisfaça a condição para todos os , concluímos que a função não é periódica.

Resposta

A função não é periódica.

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