Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial F(x, y) = [x / (x^2 + (y + 1)^2)] i + [(y + 1) / (x^2 + (y + 1)^2)] j para deslocar uma partícula de (0,0) até (raiz(e), -1).

Passo 1

Vamos calcular o trabalho realizado pelo campo vetorial F(x, y) = [x / (x^2 + (y + 1)^2)] i + [(y + 1) / (x^2 + (y + 1)^2)] j para deslocar uma partícula do ponto (0,0) até (raiz(e), -1). Esse exercício envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho realizado por um campo vetorial através de uma integral de linha. Para resolver, vamos precisar entender se o campo é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar um potencial para facilitar o cálculo do trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Uma propriedade importante de campos conservativos em um domínio simplesmente conectado é que a circulação do campo ao longo de qualquer caminho fechado é zero, ou seja, as derivadas parciais devem satisfazer .
Vamos calcular as derivadas parciais:
Observamos que , o que indica que o campo F é conservativo.

Passo 3

Como o campo é conservativo, existe uma função potencial tal que . Vamos encontrar essa função. As componentes do gradiente são:
Integrando a primeira equação em relação a x, temos:
Agora, derivamos em relação a y e igualamos à segunda componente do gradiente:
Isso implica que , então g(y) é constante. Podemos desconsiderar a constante, pois ela não afeta o gradiente. Portanto, a função potencial é:

Passo 4

Agora que temos a função potencial , podemos calcular o trabalho realizado pelo campo vetorial ao mover a partícula de (0,0) até usando a diferença dos valores de nos pontos final e inicial:
Calculando cada termo:
Portanto:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo vetorial é 1/2 unidades de trabalho.

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