Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial
para deslocar uma partícula de
até
.
Passo 1
Vamos calcular o trabalho realizado pelo campo vetorial
para deslocar uma partícula do ponto
até
. Esse exercício envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho realizado por um campo vetorial através de uma integral de linha. Para resolver, vamos precisar entender se o campo é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar um potencial para facilitar o cálculo do trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Uma propriedade importante de campos conservativos em um domínio simplesmente conectado é que a circulação do campo ao longo de qualquer caminho fechado é zero, ou seja, as derivadas parciais devem satisfazer
.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Observamos que
, o que indica que o campo
é conservativo.
Passo 3
Como o campo é conservativo, existe uma função potencial
tal que
. Vamos encontrar essa função. As componentes do gradiente são:
Integrando a primeira equação em relação a
, temos:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda componente do gradiente:
Isso implica que
, então
é constante. Podemos desconsiderar a constante, pois ela não afeta o gradiente. Portanto, a função potencial é:
Passo 4
Agora que temos a função potencial
, podemos calcular o trabalho realizado pelo campo vetorial ao mover a partícula de
até
usando a diferença dos valores de
nos pontos final e inicial:
Calculando cada termo:
Portanto:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo vetorial é
unidades de trabalho.