Em uma empresa de vendas, as comissões de uma amostra de 130 vendedores são apresentadas na tabela a seguir:
Comissões (R$) | fi |
---|---|
300 卜 500 | 10 |
500 卜 700 | 30 |
700 卜 900 | 50 |
900 卜 1100 | 40 |
Construa um intervalo de confiança de 95% para o verdadeiro salário médio dos vendedores dessa empresa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com as comissões de 130 vendedores de uma empresa e precisa construir um intervalo de confiança de 95% para descobrir qual é o salário médio verdadeiro desses vendedores. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, como média, desvio padrão e intervalos de confiança.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os dados que temos. A tabela mostra as faixas de comissões em reais (R$) e quantos vendedores estão em cada faixa:
Comissões (R$) | fi |
---|---|
300 ≤ x < 500 | 10 |
500 ≤ x < 700 | 30 |
700 ≤ x < 900 | 50 |
900 ≤ x < 1100 | 40 |
Aqui, “fi” representa a frequência, ou seja, quantos vendedores ganham dentro de cada faixa de comissão.
Passo 3
Para calcular a média das comissões, vamos usar os pontos médios de cada faixa. O ponto médio de uma faixa é a média entre o limite inferior e o superior. Vamos calcular isso para cada faixa:
- Para 300 ≤ x < 500: (300 + 500) / 2 = 400
- Para 500 ≤ x < 700: (500 + 700) / 2 = 600
- Para 700 ≤ x < 900: (700 + 900) / 2 = 800
- Para 900 ≤ x < 1100: (900 + 1100) / 2 = 1000
Passo 4
Agora, multiplicamos cada ponto médio pela sua frequência para obter o total de comissões em cada faixa:
- 400 * 10 = 4000
- 600 * 30 = 18000
- 800 * 50 = 40000
- 1000 * 40 = 40000
Somando tudo, temos o total das comissões:
4000 + 18000 + 40000 + 40000 = 102000 R$
Passo 5
A média amostral (
) é o total das comissões dividido pelo número de vendedores:
Passo 6
Agora, precisamos calcular o desvio padrão da amostra. Primeiro, calculamos
para cada ponto médio, multiplicamos pela frequência e somamos tudo:
Total de
:
1600000 + 10800000 + 32000000 + 40000000 = 84400000
Passo 7
Usamos a fórmula do desvio padrão:
Passo 8
Para construir o intervalo de confiança de 95%, usamos a fórmula:
Onde:
-
é o valor crítico da distribuição normal para 95% de confiança (≈1,96) -
é o desvio padrão -
é o tamanho da amostra
Calculando a margem de erro:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para o salário médio dos vendedores é de aproximadamente 753,42 R$ a 815,82 R$.