Em uma empresa de vendas, as comissões de uma amostra de 130 vendedores são apresentadas na tabela a seguir:
Comissões (R$) fi
300 卜 500 10
500 卜 700 30
700 卜 900 50
900 卜 1100 40
Construa um intervalo de confiança de 95% para o verdadeiro salário médio dos vendedores dessa empresa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com as comissões de 130 vendedores de uma empresa e precisa construir um intervalo de confiança de 95% para descobrir qual é o salário médio verdadeiro desses vendedores. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, como média, desvio padrão e intervalos de confiança.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os dados que temos. A tabela mostra as faixas de comissões em reais (R$) e quantos vendedores estão em cada faixa:
Comissões (R$) fi
300 ≤ x < 500 10
500 ≤ x < 700 30
700 ≤ x < 900 50
900 ≤ x < 1100 40
Aqui, “fi” representa a frequência, ou seja, quantos vendedores ganham dentro de cada faixa de comissão.

Passo 3

Para calcular a média das comissões, vamos usar os pontos médios de cada faixa. O ponto médio de uma faixa é a média entre o limite inferior e o superior. Vamos calcular isso para cada faixa:
  • Para 300 ≤ x < 500: (300 + 500) / 2 = 400
  • Para 500 ≤ x < 700: (500 + 700) / 2 = 600
  • Para 700 ≤ x < 900: (700 + 900) / 2 = 800
  • Para 900 ≤ x < 1100: (900 + 1100) / 2 = 1000

Passo 4

Agora, multiplicamos cada ponto médio pela sua frequência para obter o total de comissões em cada faixa:
  • 400 * 10 = 4000
  • 600 * 30 = 18000
  • 800 * 50 = 40000
  • 1000 * 40 = 40000
Somando tudo, temos o total das comissões:
4000 + 18000 + 40000 + 40000 = 102000 R$

Passo 5

A média amostral ( ) é o total das comissões dividido pelo número de vendedores:

Passo 6

Agora, precisamos calcular o desvio padrão da amostra. Primeiro, calculamos para cada ponto médio, multiplicamos pela frequência e somamos tudo:
Total de :
1600000 + 10800000 + 32000000 + 40000000 = 84400000

Passo 7

Usamos a fórmula do desvio padrão:

Passo 8

Para construir o intervalo de confiança de 95%, usamos a fórmula:
Onde:
  • é o valor crítico da distribuição normal para 95% de confiança (≈1,96)
  • é o desvio padrão
  • é o tamanho da amostra
Calculando a margem de erro:

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para o salário médio dos vendedores é de aproximadamente 753,42 R$ a 815,82 R$.

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