Resolva a seguinte equação diferencial pelo método da variação dos parámetros
y'' + 4y = e^(2x) / 2
Defina um intervalo na qual a solução geral seja válida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo . O conteúdo envolvido aqui é o método da variação dos parâmetros, que usamos para encontrar uma solução particular de uma equação diferencial não homogênea. Para isso, vamos precisar primeiro resolver a equação homogênea associada e depois aplicar a variação dos parâmetros para encontrar a parte específica da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para resolver isso, encontramos as raízes da equação característica:
Como as raízes são imaginárias puros, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação original usando a variação dos parâmetros. A ideia aqui é assumir que os coeficientes e não são constantes, mas funções de . Assim, escrevemos:
Onde e são funções que precisamos determinar.

Passo 4

Para encontrar e , usamos as seguintes fórmulas derivadas do método de variação dos parâmetros:
Aqui, , , e é o Wronskiano dado por:

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula para e :

Passo 6

Integrando e para encontrar e :
Desconsideramos as constantes de integração porque elas serão absorvidas pelas constantes e da solução homogênea.

Passo 7

Substituindo e na expressão de :
Simplificando os termos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Essa solução é válida para todo o domínio dos números reais, ou seja, para todo .

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