Resolva a seguinte equação diferencial pelo método da variação dos parámetros
Defina um intervalo na qual a solução geral seja válida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo
. O conteúdo envolvido aqui é o método da variação dos parâmetros, que usamos para encontrar uma solução particular de uma equação diferencial não homogênea. Para isso, vamos precisar primeiro resolver a equação homogênea associada e depois aplicar a variação dos parâmetros para encontrar a parte específica da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para resolver isso, encontramos as raízes da equação característica:
Como as raízes são imaginárias puros, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação original usando a variação dos parâmetros. A ideia aqui é assumir que os coeficientes
e
não são constantes, mas funções de
. Assim, escrevemos:
Onde
e
são funções que precisamos determinar.
Passo 4
Para encontrar
e
, usamos as seguintes fórmulas derivadas do método de variação dos parâmetros:
Aqui,
,
,
e
é o Wronskiano dado por:
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula para
e
:
Passo 6
Integrando
e
para encontrar
e
:
Desconsideramos as constantes de integração porque elas serão absorvidas pelas constantes
e
da solução homogênea.
Passo 7
Substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando os termos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Essa solução é válida para todo o domínio dos números reais, ou seja, para todo
.
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.
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.