Resolva a seguinte equação diferencial pelo método dos coeficientes indeterminados
y'' - y' + y = 2 cos(3x)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. Essa equação pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada e por uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Substituindo na equação:
Dividindo todos os termos por (que nunca é zero):

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática pelos métodos habituais (fórmula de Bhaskara):
Isso nos dá raízes complexas , onde e .

Passo 5

Com raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados.
Como o lado direito da equação é , tentamos uma solução particular da forma:
Onde e são coeficientes a serem determinados.

Passo 7

Calculando as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 8

Para que a igualdade seja válida para todos os valores de , os coeficientes de e devem ser iguais nos dois lados da equação. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,

Passo 9

Agora que temos os valores de e , a solução particular fica:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Resolva o scguinte problema de valor inicial
{ y * y' = x, y(3) = 2 }
Classifique as seguintes equações diferenciais em homogéneas ou exatas e encontre a solução pelo respectivo método.
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y'' + 4y = e^(2x) / 2
Defina um intervalo na qual a solução geral seja válida.
Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial F(x, y) = [x / (x^2 + (y + 1)^2)] i + [(y + 1) / (x^2 + (y + 1)^2)] j para deslocar uma partícula de (0,0) até (raiz(e), -1).