Resolva a seguinte equação diferencial pelo método dos coeficientes indeterminados
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. Essa equação pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada e por uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Substituindo na equação:
Dividindo todos os termos por
(que nunca é zero):
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
pelos métodos habituais (fórmula de Bhaskara):
Isso nos dá raízes complexas
, onde
e
.
Passo 5
Com raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método dos coeficientes indeterminados.
Como o lado direito da equação é
, tentamos uma solução particular da forma:
Onde
e
são coeficientes a serem determinados.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 8
Para que a igualdade seja válida para todos os valores de
, os coeficientes de
e
devem ser iguais nos dois lados da equação. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Passo 9
Agora que temos os valores de
e
, a solução particular fica:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
com a solução particular
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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.
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para deslocar uma partícula de
até
.