Uma pedra é lançada a um lago, originando uma onda circular que viaja a uma velocidade de
. Determine a taxa de variação da área dentro do círculo nos tempos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre uma pedra jogada num lago, que cria uma onda circular. Essa onda se move a uma velocidade de
. A pergunta é: qual é a taxa de variação da área dentro desse círculo nos tempos
,
e
segundos. Vamos usar conceitos de geometria e cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a onda forma um círculo cujo raio aumenta conforme o tempo passa. A velocidade dada (
) é a rapidez com que o raio desse círculo está aumentando. Então, se chamarmos o raio de
e o tempo de
, podemos relacionar os dois assim:
Onde
é a velocidade da onda.
Passo 3
Sabendo que a área
de um círculo é dada pela fórmula:
Como o raio
depende do tempo
, a área também vai depender do tempo. A gente quer descobrir como essa área muda com o tempo, ou seja, a derivada da área em relação ao tempo,
.
Passo 4
Vamos substituir
na fórmula da área pela expressão que encontramos:
Agora, para achar a taxa de variação da área, derivamos
em relação a
:
Passo 5
Agora, basta substituir os valores de
desejados na expressão que encontramos para
:
Para
s:
Para
s:
Para
s:
Resposta
A taxa de variação da área dentro do círculo é:
-
quando s, -
quando s, e -
quando s.
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Calcule o trabalho realizado por um campo vetorial
quando uma partícula se desloca ao longo da curva definida por
, para
.
Qual o trabalho da mesma força ao longo da curva fechada correspondente à elipse
para
? A força
é conservativa?
Qual o trabalho da mesma força ao longo da curva fechada correspondente à elipse
Mostre que
Deduza daí uma expressão para
.
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