Uma pedra é lançada a um lago, originando uma onda circular que viaja a uma velocidade de 40 cm/s. Determine a taxa de variação da área dentro do círculo nos tempos t = 1, t = 3 e t = 5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre uma pedra jogada num lago, que cria uma onda circular. Essa onda se move a uma velocidade de . A pergunta é: qual é a taxa de variação da área dentro desse círculo nos tempos , e segundos. Vamos usar conceitos de geometria e cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a onda forma um círculo cujo raio aumenta conforme o tempo passa. A velocidade dada ( ) é a rapidez com que o raio desse círculo está aumentando. Então, se chamarmos o raio de e o tempo de , podemos relacionar os dois assim:
Onde é a velocidade da onda.

Passo 3

Sabendo que a área de um círculo é dada pela fórmula:
Como o raio depende do tempo , a área também vai depender do tempo. A gente quer descobrir como essa área muda com o tempo, ou seja, a derivada da área em relação ao tempo, .

Passo 4

Vamos substituir na fórmula da área pela expressão que encontramos:
Agora, para achar a taxa de variação da área, derivamos em relação a :

Passo 5

Agora, basta substituir os valores de desejados na expressão que encontramos para :
Para s:
Para s:
Para s:

Resposta

A taxa de variação da área dentro do círculo é:
  • quando s,
  • quando s, e
  • quando s.

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