Calcule o trabalho realizado por
para movimentar uma partícula através de uma trajetória que une os pontos
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por uma força
ao mover uma partícula de um ponto
até outro ponto
. Estamos lidando com a matéria de Trabalho e Energia, especificamente com o cálculo de trabalho através de integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a trajetória e como calcular a integral do produto escalar da força pela diferencial do deslocamento.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir a trajetória que a partícula vai seguir de
a
. Vamos supor que a trajetória seja uma linha reta entre esses dois pontos. Para parametrizar essa linha, podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1.
A parametrização da trajetória
é:
Passo 3
Agora, precisamos determinar a diferencial de deslocamento
. Isso é encontrado derivando
em relação a
:
Passo 4
Em seguida, vamos supor que a força
seja constante ou tenha uma forma conhecida ao longo da trajetória. Por exemplo, se
, precisamos expressar
em termos de
usando a parametrização da trajetória. Sem uma expressão específica para
, vamos considerar genericamente:
Passo 5
O trabalho realizado pela força ao longo da trajetória é dado pela integral de linha:
Substituindo
e
na integral:
Passo 6
Simplificando a integral:
Resposta
O trabalho realizado pela força
ao mover a partícula de
a
é: