Calcule o trabalho realizado por F para movimentar uma partícula através de uma trajetória que une os pontos (1, 0, 0) a (1, 1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por uma força F ao mover uma partícula de um ponto (1, 0, 0) até outro ponto (1, 1, 1). Estamos lidando com a matéria de Trabalho e Energia, especificamente com o cálculo de trabalho através de integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a trajetória e como calcular a integral do produto escalar da força pela diferencial do deslocamento.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir a trajetória que a partícula vai seguir de (1, 0, 0) a (1, 1, 1). Vamos supor que a trajetória seja uma linha reta entre esses dois pontos. Para parametrizar essa linha, podemos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1.
A parametrização da trajetória vec(r)(t) é:

Passo 3

Agora, precisamos determinar a diferencial de deslocamento . Isso é encontrado derivando vec(r)(t) em relação a t:

Passo 4

Em seguida, vamos supor que a força F seja constante ou tenha uma forma conhecida ao longo da trajetória. Por exemplo, se , precisamos expressar F em termos de t usando a parametrização da trajetória. Sem uma expressão específica para F, vamos considerar genericamente:

Passo 5

O trabalho realizado pela força ao longo da trajetória é dado pela integral de linha:
Substituindo F e na integral:

Passo 6

Simplificando a integral:

Resposta

O trabalho realizado pela força F ao mover a partícula de (1, 0, 0) a (1, 1, 1) é:

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