Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
através do paralelogramo de vértices
, orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O exercício pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial específico ao redor de um paralelogramo com vértices dados, seguindo uma orientação anti-horária. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre uma região plana. Para resolver, vamos precisar entender o que é trabalho em um campo vetorial e como aplicar o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial dado no problema:
Aqui, temos
, onde:
Passo 3
O trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva fechada
pode ser calculado usando a integral de linha:
Mas, calcular essa integral diretamente pode ser complicado. Por isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região
delimitada por
:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro,
:
Note que a primeira parte,
, não depende de
, então sua derivada em relação a
é zero. Assim:
Agora,
:
Passo 5
Substituindo as derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região
, que é o paralelogramo com vértices
,
,
e
.
Passo 6
Vamos identificar as equações das retas que formam as bordas do paralelogramo para definir os limites de integração. Observando os vértices:
- Lado de
a : mantém , com de a . - Lado de
a : passa de a . - Lado de
a : mantém , com de a . - Lado de
a : passa de a .
Podemos parametrizar as retas inclinadas para expressar
em função de
, facilitando a integração.
Passo 7
Vamos determinar as equações das retas inclinadas:
- Entre
e :
Pontos:
e
. A inclinação
é:
Então, a equação da reta é:
- Entre
e :
Pontos:
e
. A inclinação
é:
Então, a equação da reta é:
Passo 8
Agora, podemos expressar os limites de integração:
Para
variando de
a
, os limites de
vão de
(reta inferior) a
(reta superior).
Então, a integral dupla fica:
Passo 9
Vamos resolver a integral interna primeiro, integrando em relação a
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então, a diferença é:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Primeiro, expandimos
e
:
Substituindo:
Simplificando termos semelhantes:
Passo 11
Agora, a integral externa:
Integrando termo a termo:
Portanto:
Passo 12
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
A diferença é:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo vetorial é -194 unidades de trabalho.