Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
y = sen(x^2)
através do paralelogramo de vértices y = sen(x^2), orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O exercício pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial específico ao redor de um paralelogramo com vértices dados, seguindo uma orientação anti-horária. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre uma região plana. Para resolver, vamos precisar entender o que é trabalho em um campo vetorial e como aplicar o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial dado no problema:
y = sen(x^2)
Aqui, temos y = sen(x^2), onde:
y = sen(x^2)

Passo 3

O trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva fechada C pode ser calculado usando a integral de linha:
y = sen(x^2)
Mas, calcular essa integral diretamente pode ser complicado. Por isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região y = sen(x^2) delimitada por D:
C

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, :
y = sen(x^2)
Note que a primeira parte, y = sen(x^2), não depende de , então sua derivada em relação a x é zero. Assim:
x
Agora, y = sen(x^2):
y = sen(x^2)

Passo 5

Substituindo as derivadas na fórmula do Teorema de Green:
y = sen(x^2)
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região y = sen(x^2), que é o paralelogramo com vértices D, , e .

Passo 6

Vamos identificar as equações das retas que formam as bordas do paralelogramo para definir os limites de integração. Observando os vértices:
  • Lado de A1 a A2: mantém , com y de -1 a .
  • Lado de A2 a A3: passa de -1,2 a 1,4.
  • Lado de A3 a : mantém x = 1, com y de a 1.
  • Lado de a A1: passa de 1,1 a (-1, -1).
Podemos parametrizar as retas inclinadas para expressar y em função de x, facilitando a integração.

Passo 7

Vamos determinar as equações das retas inclinadas:
  • Entre A2 e A3:
Pontos: -1,2 e 1,4. A inclinação m é:
y = sen(x^2)
Então, a equação da reta é:
y = sen(x^2)
  • Entre y = sen(x^2) e y = sen(x^2):
Pontos: e A1. A inclinação 1,1 é:
(-1, -1)
Então, a equação da reta é:
m

Passo 8

Agora, podemos expressar os limites de integração:
Para x variando de -1 a 1, os limites de y vão de (reta inferior) a (reta superior).
Então, a integral dupla fica:
y = sen(x^2)

Passo 9

Vamos resolver a integral interna primeiro, integrando em relação a y:
y = sen(x^2)
Calculando nos limites:
Para y = sen(x^2):
Para y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Então, a diferença é:

Passo 10

Simplificando a expressão:
Primeiro, expandimos e :
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)
Substituindo:
y = sen(x^2)
Simplificando termos semelhantes:
y = sen(x^2)

Passo 11

Agora, a integral externa:
y = sen(x^2)
Integrando termo a termo:
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)
Portanto:
y = sen(x^2)

Passo 12

Calculando nos limites:
Para x = 1:
y = sen(x^2)
Para y = sen(x^2):
A diferença é:
y = sen(x^2)

Resposta

O trabalho realizado pelo campo vetorial é -194 unidades de trabalho.

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<html><head></head><body><div>Justifique porque, apesar do resultado do item anterior, não podemos concluir que o campo <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: 0;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.695ex” height=“2.45ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1083 749 1083”><title>F</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mover”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D439” d=“M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(484.3,269) translate(-250 0)”><path data-c=“20D7” d=“M377 694Q377 702 382 708T397 714Q404 714 409 709Q414 705 419 690Q429 653 460 633Q471 626 471 615Q471 606 468 603T454 594Q411 572 379 531Q377 529 374 525T369 519T364 517T357 516Q350 516 344 521T337 536Q337 555 384 595H213L42 596Q29 605 29 615Q29 622 42 635H401Q377 673 377 694Z”></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> é conservativo;</div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Calcule o trabalho realizado por <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: 0;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.695ex” height=“2.45ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1083 749 1083”><title>F</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mover”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D439” d=“M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(484.3,269) translate(-250 0)”><path data-c=“20D7” d=“M377 694Q377 702 382 708T397 714Q404 714 409 709Q414 705 419 690Q429 653 460 633Q471 626 471 615Q471 606 468 603T454 594Q411 572 379 531Q377 529 374 525T369 519T364 517T357 516Q350 516 344 521T337 536Q337 555 384 595H213L42 596Q29 605 29 615Q29 622 42 635H401Q377 673 377 694Z”></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> para movimentar uma partícula através de uma trajetória que une os pontos <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“7.166ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 3167.3 1000”><title>(1, 0, 0)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(389,0)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(889,0)”><path data-c=“2C” d=“M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1333.7,0)”><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1833.7,0)”><path data-c=“2C” d=“M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(2278.3,0)”><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2778.3,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> a <span class="math-inline ">
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<html><head></head><body><div>Avaliaçāo Parcial - Cálculo II<br>
Questões<br>
2,5 1. Considere as curvas <span class=“math-inline “>
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