Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
F(x, y) = (x * e^(x^2) - x * y^2, raiz(ln(y^2 + 5) + 3) - 4 * x * y^3)
através do paralelogramo de vértices A1=(-1,-1), A2=(-1,2), A3=(1,4), A4=(1,1), orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O exercício pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial específico ao redor de um paralelogramo com vértices dados, seguindo uma orientação anti-horária. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre uma região plana. Para resolver, vamos precisar entender o que é trabalho em um campo vetorial e como aplicar o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial dado no problema:
Aqui, temos , onde:

Passo 3

O trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva fechada C pode ser calculado usando a integral de linha:
Mas, calcular essa integral diretamente pode ser complicado. Por isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região D delimitada por C:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, :
Note que a primeira parte, , não depende de x, então sua derivada em relação a x é zero. Assim:
Agora, :

Passo 5

Substituindo as derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região D, que é o paralelogramo com vértices , , e .

Passo 6

Vamos identificar as equações das retas que formam as bordas do paralelogramo para definir os limites de integração. Observando os vértices:
  • Lado de A1 a A2: mantém , com y de -1 a .
  • Lado de A2 a A3: passa de -1,2 a 1,4.
  • Lado de A3 a : mantém x = 1, com y de a 1.
  • Lado de a A1: passa de 1,1 a (-1, -1).
Podemos parametrizar as retas inclinadas para expressar y em função de x, facilitando a integração.

Passo 7

Vamos determinar as equações das retas inclinadas:
  • Entre A2 e A3:
Pontos: -1,2 e 1,4. A inclinação m é:
Então, a equação da reta é:
  • Entre e A1:
Pontos: 1,1 e (-1, -1). A inclinação m é:
Então, a equação da reta é:

Passo 8

Agora, podemos expressar os limites de integração:
Para x variando de -1 a 1, os limites de y vão de (reta inferior) a (reta superior).
Então, a integral dupla fica:

Passo 9

Vamos resolver a integral interna primeiro, integrando em relação a y:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então, a diferença é:

Passo 10

Simplificando a expressão:
Primeiro, expandimos e :
Substituindo:
Simplificando termos semelhantes:

Passo 11

Agora, a integral externa:
Integrando termo a termo:
Portanto:

Passo 12

Calculando nos limites:
Para x = 1:
Para :
A diferença é:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo vetorial é -194 unidades de trabalho.

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