Justifique porque, apesar do resultado do item anterior, não podemos concluir que o campo
é conservativo;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente justificar por que, mesmo com o resultado do item anterior, não dá pra concluir que o campo
é conservativo. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais e propriedades de conservatividade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e quais são as condições necessárias para que um campo seja classificado assim.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função potencial
tal que:
Isso implica que o trabalho realizado pelo campo
ao longo de um caminho depende apenas dos pontos inicial e final, e não do trajeto seguido.
Passo 3
Uma condição importante para que um campo seja conservativo é que o seu rotacional seja nulo em todo o domínio considerado. Ou seja:
Esse resultado geralmente é um bom indicativo de que o campo pode ser conservativo, mas não é a única condição necessária.
Passo 4
Além do rotacional nulo, o domínio onde o campo está definido precisa ser simplesmente conexo. Isso significa que qualquer caminho fechado no domínio pode ser continuamente contraído a um ponto sem sair do domínio. Se o domínio tiver “buracos” ou “obstruções”, mesmo com o rotacional nulo, o campo pode não ser conservativo.
Passo 5
Então, voltando ao enunciado, mesmo que no item anterior tenhamos mostrado que
, não podemos concluir que
é conservativo se o domínio não for simplesmente conexo. A existência de regiões no espaço onde o caminho não pode ser contraído a um ponto impede a aplicação do teorema fundamental dos campos conservativos.
Resposta
Portanto, apesar de o rotacional de
ser zero, se o domínio não for simplesmente conexo, não podemos concluir que o campo
é conservativo.