Justifique porque, apesar do resultado do item anterior, não podemos concluir que o campo F é conservativo;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente justificar por que, mesmo com o resultado do item anterior, não dá pra concluir que o campo é conservativo. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais e propriedades de conservatividade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e quais são as condições necessárias para que um campo seja classificado assim.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que:
Isso implica que o trabalho realizado pelo campo ao longo de um caminho depende apenas dos pontos inicial e final, e não do trajeto seguido.

Passo 3

Uma condição importante para que um campo seja conservativo é que o seu rotacional seja nulo em todo o domínio considerado. Ou seja:
Esse resultado geralmente é um bom indicativo de que o campo pode ser conservativo, mas não é a única condição necessária.

Passo 4

Além do rotacional nulo, o domínio onde o campo está definido precisa ser simplesmente conexo. Isso significa que qualquer caminho fechado no domínio pode ser continuamente contraído a um ponto sem sair do domínio. Se o domínio tiver “buracos” ou “obstruções”, mesmo com o rotacional nulo, o campo pode não ser conservativo.

Passo 5

Então, voltando ao enunciado, mesmo que no item anterior tenhamos mostrado que , não podemos concluir que é conservativo se o domínio não for simplesmente conexo. A existência de regiões no espaço onde o caminho não pode ser contraído a um ponto impede a aplicação do teorema fundamental dos campos conservativos.

Resposta

Portanto, apesar de o rotacional de ser zero, se o domínio não for simplesmente conexo, não podemos concluir que o campo é conservativo.

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