Calcule
, para
e
é a curva dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
e a curva
estão definidos. A matéria envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Vamos precisar entender como parametrizar a curva e como calcular o produto escalar entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela está parametrizada por
, onde
varia de 1 a 2. Isso significa que para cada valor de
nesse intervalo, temos um ponto na curva
.
Passo 3
O próximo passo é calcular a derivada de
em relação a
, que é
. Isso nos dá o vetor tangente à curva
no ponto correspondente a cada
.
Passo 4
Agora, vamos expressar o campo vetorial
em termos de
usando a parametrização da curva
. Substituímos
e
na expressão de
:
Simplificando
, temos:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Isso pode ser resolvido por métodos numéricos, já que a integral não tem uma antiderivada elementar fácil de encontrar.
Resposta
A integral
pode ser calculada numericamente, resultando em aproximadamente
. (Nota: o valor exato depende da precisão do método numérico utilizado.)
Exercícios relacionados
Se
No instante
Lembre-se que:
Sabe-se que:
Dado o campo vetorial
.
i) Mostre que o campo é irrotacional.
ii) Encontre a função .
iii) Calcule o trabalho ao longo de uma curva que liga o ponto
até o ponto
.
i) Mostre que o campo é irrotacional.
ii) Encontre a função
iii) Calcule o trabalho
Calcule o trabalho realizado pela força conservativa
ao deslocar uma partícula desde
até
.