Calcule , para e é a curva dada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial e a curva estão definidos. A matéria envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Vamos precisar entender como parametrizar a curva e como calcular o produto escalar entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela está parametrizada por , onde varia de 1 a 2. Isso significa que para cada valor de nesse intervalo, temos um ponto na curva .

Passo 3

O próximo passo é calcular a derivada de em relação a , que é . Isso nos dá o vetor tangente à curva no ponto correspondente a cada .

Passo 4

Agora, vamos expressar o campo vetorial em termos de usando a parametrização da curva . Substituímos e na expressão de :
Simplificando , temos:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 6

Simplificando a expressão:
Isso pode ser resolvido por métodos numéricos, já que a integral não tem uma antiderivada elementar fácil de encontrar.

Resposta

A integral pode ser calculada numericamente, resultando em aproximadamente . (Nota: o valor exato depende da precisão do método numérico utilizado.)

Exercícios relacionados

Prove a seguinte propriedade da transformada unilateral:
Se , mostre que:
Determine a posição do peso no instante .
No instante a mola não estava deformada, neste instante o peso foi solto.
Lembre-se que:
e
Sabe-se que:
Dado o campo vetorial .
i) Mostre que o campo é irrotacional.
ii) Encontre a função .
iii) Calcule o trabalho ao longo de uma curva que liga o ponto até o ponto .
Calcule o trabalho realizado pela força conservativa ao deslocar uma partícula desde até .