Calcule W=integralC F cdot d r, para F=(e^y+y e^x) i+(x e^y+e^x) j e C é a curva dada por r=sen(pi2 t) i+(ln (t)) j, 1 <= t <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial e a curva estão definidos. A matéria envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Vamos precisar entender como parametrizar a curva e como calcular o produto escalar entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela está parametrizada por , onde varia de 1 a 2. Isso significa que para cada valor de nesse intervalo, temos um ponto na curva .

Passo 3

O próximo passo é calcular a derivada de drdt = ddt[sin(pi2 t)] i + ddt[ln(t)] j = pi2 cos(pi2 t) i + 1t j em relação a , que é . Isso nos dá o vetor tangente à curva no ponto correspondente a cada .

Passo 4

Agora, vamos expressar o campo vetorial F(t) = (e^ln(t) + ln(t) e^sin(pi2 t)) i + (sin(pi2 t) e^ln(t) + e^sin(pi2 t)) j em termos de F(t) = (t + ln(t) e^sin(pi2 t)) i + (sin(pi2 t) t + e^sin(pi2 t)) j usando a parametrização da curva . Substituímos e na expressão de :
Simplificando , temos:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F(t) cdot drdt = (t + ln(t) e^sin(pi2 t)) cdot pi2 cos(pi2 t) + (sin(pi2 t) t + e^sin(pi2 t)) cdot 1t :

Passo 6

Simplificando a expressão:
W = integral1^2 [ (t + ln(t) e^sin(pi2 t)) cdot pi2 cos(pi2 t) + (sin(pi2 t) t + e^sin(pi2 t)) cdot 1t ] dt
Isso pode ser resolvido por métodos numéricos, já que a integral não tem uma antiderivada elementar fácil de encontrar.

Resposta

A integral pode ser calculada numericamente, resultando em aproximadamente . (Nota: o valor exato depende da precisão do método numérico utilizado.)

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