Calcule o trabalho realizado pela força F = (x, y, z) para deslocar uma partícula ao longo da curva interseção das superfícies x + z = 5 e z = 4 - y^2, orientada do ponto (5, -2, 0) a 5,2,0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para calcular o trabalho realizado por uma força F = (x, y, z) ao mover uma partícula ao longo de uma curva específica. Essa curva é onde as superfícies e se encontram, indo do ponto (5, -2, 0) até 5,2,0. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho através de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva pela qual a partícula vai se mover. A curva é a interseção das duas superfícies dadas:
Substituindo a segunda equação na primeira, temos:
Então, podemos expressar x e z em termos de y:
Isso significa que podemos parametrizar a curva usando y como variável.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva. Vamos definir uma parametrização em termos de y, já que y varia de -2 a (de (5, -2, 0) a 5,2,0):
Para calcular o trabalho, precisamos da derivada dessa parametrização em relação a y, que é :

Passo 4

Agora, vamos expressar a força F ao longo da curva parametrizada. Substituindo x, y e z na força:
Para encontrar o trabalho, usamos a fórmula da integral de linha:
Onde e .

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :
Simplificando cada termo:
Então, a expressão integrada fica:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
Calculando em :
Calculando em :
Subtraindo os resultados:

Resposta

O trabalho realizado pela força F ao deslocar a partícula ao longo da curva é 0.

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