Calcule o trabalho realizado pela força
para deslocar uma partícula ao longo da curva interseção das superfícies
e
, orientada do ponto
a
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para calcular o trabalho realizado por uma força
ao mover uma partícula ao longo de uma curva específica. Essa curva é onde as superfícies
e
se encontram, indo do ponto
até
. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho através de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva pela qual a partícula vai se mover. A curva é a interseção das duas superfícies dadas:
Substituindo a segunda equação na primeira, temos:
Então, podemos expressar
e
em termos de
:
Isso significa que podemos parametrizar a curva usando
como variável.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a curva. Vamos definir uma parametrização em termos de
, já que
varia de
a
(de
a
):
Para calcular o trabalho, precisamos da derivada dessa parametrização em relação a
, que é
:
Passo 4
Agora, vamos expressar a força
ao longo da curva parametrizada. Substituindo
,
e
na força:
Para encontrar o trabalho, usamos a fórmula da integral de linha:
Onde
e
.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando cada termo:
Então, a expressão integrada fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo os resultados:
Resposta
O trabalho realizado pela força
ao deslocar a partícula ao longo da curva é 0.