Resolva equaçãoes com variaveis separaveis:
c)
,
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial com variáveis separáveis:
E uma condição inicial:
Vamos precisar usar o conceito de separação de variáveis, que ajuda a resolver equações onde dá pra separar os termos com
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
.
Podemos escrever a equação como:
Podemos escrever a equação como:
Passo 3
Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A ideia é que, se a equação é separável, conseguimos escrever como:
Aqui, temos:
Passo 4
Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
Fazendo uma substituição simples, deixamos
Passo 5
Agora, a integral do lado direito:
Passo 6
Juntando as integrais, temos:
Passo 7
Vamos aplicar a condição inicial
para encontrar a constante
:
Substituindo e
:
Substituindo
Passo 8
Substituindo
na equação geral:
Passo 9
Para simplificar e isolar os termos em
, rearranjamos a equação:
Multiplicando ambos os lados por
Passo 10
Finalmente, temos a solução implícita da equação diferencial:
Resposta
A solução implícita da equação diferencial é: