Resolva equaçãoes com variaveis separaveis:
c) ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial com variáveis separáveis:

E uma condição inicial: .
Vamos precisar usar o conceito de separação de variáveis, que ajuda a resolver equações onde dá pra separar os termos com dos termos com .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e .
Podemos escrever a equação como:

Passo 3

Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A ideia é que, se a equação é separável, conseguimos escrever como:

Aqui, temos:

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado esquerdo:

Fazendo uma substituição simples, deixamos , então ou . Assim:

Passo 5

Agora, a integral do lado direito:

Passo 6

Juntando as integrais, temos:

Passo 7

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante :
Substituindo e :

Passo 8

Substituindo na equação geral:

Passo 9

Para simplificar e isolar os termos em , rearranjamos a equação:

Multiplicando ambos os lados por :

Passo 10

Finalmente, temos a solução implícita da equação diferencial:

Resposta

A solução implícita da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva equaçãoes exatos:
b) .
d) .
Calcule o trabalho realizado pela força para deslocar uma partícula ao longo da curva interseção das superfícies e , orientada do ponto a .
Seja .
é conservativo? Por quê?
Verifique o Teorema de Stokes, calculando a integral de linha e a integral de superfície para o campo e a superfície , tal que
é a parte do paraboloide interior ao cilindro , sendo tal que .