Resolva equaçãoes exatos:
b) .
d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação exata do item b):
Vou te explicar como identificar e resolver uma equação exata, que é o conteúdo que vamos usar aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação na forma é exata se .
Vamos identificar e :

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
onde é uma função de que aparece na constante de integração.

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando, vemos que:
onde é uma constante.

Passo 6

Então, a função é:
Como a solução geral da equação exata é , temos:

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação do item d):
Vamos ver como resolver essa equação diferencial de primeira ordem usando métodos que não exigem conhecimento avançado.

Passo 8

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar isolado:
Essa é uma equação diferencial linear da forma:
onde e .

Passo 9

Para resolver uma equação linear, usamos o fator integrante, que é:
Multiplicamos toda a equação por :

Passo 10

Agora, o lado esquerdo da equação é a derivada de :
Integramos ambos os lados:

Passo 11

Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação é:

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Sabendo que e , encontre:
Resolva equaçãoes com variaveis separaveis:
c) ,
Seja .
é conservativo? Por quê?