Resolva equaçãoes exatos:
b)
.
d)
.
b)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação exata do item b):
Vou te explicar como identificar e resolver uma equação exata, que é o conteúdo que vamos usar aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação na forma
é exata se
.
Vamos identificar
e
:
Passo 3
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
onde
é uma função de
que aparece na constante de integração.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando, vemos que:
onde
é uma constante.
Passo 6
Então, a função
é:
Como a solução geral da equação exata é
, temos:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação do item d):
Vamos ver como resolver essa equação diferencial de primeira ordem usando métodos que não exigem conhecimento avançado.
Passo 8
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado:
Essa é uma equação diferencial linear da forma:
onde
e
.
Passo 9
Para resolver uma equação linear, usamos o fator integrante, que é:
Multiplicamos toda a equação por
:
Passo 10
Agora, o lado esquerdo da equação é a derivada de
:
Integramos ambos os lados:
Passo 11
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação é:
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Calcule o trabalho realizado pela força
para deslocar uma partícula ao longo da curva interseção das superfícies
e
, orientada do ponto
a
.
Sabendo que
e
, encontre:
Resolva equaçãoes com variaveis separaveis:
c) ,
c)
Seja
.
é conservativo? Por quê?