Calcule o trabalho realizado pela força F na partícula que se move ao longo de C
(e) F(x, y, z) = (x y z + x) i + (x^2 y + y) j + (x^2 y)
z) k, ao longo de r(t) = t i + t^2 j + t^3 k, onde 0 <= t <= 2
Sol. 1062/7

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o trabalho realizado por uma força F quando uma partícula se move ao longo de uma curva C. Aqui, a força está definida por:
E a trajetória da partícula é dada por:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho, que envolve calcular a integral de linha da força ao longo da trajetória.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o trabalho W é dado pela integral da força F ponto por ponto na direção do deslocamento :
Como temos a parametrização da curva r(t), podemos expressar em termos de t.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de r(t) em relação a t para encontrar :
Então,

Passo 4

Agora, substituímos x, y e z em F pela parametrização r(t):
Então, a força F em termos de t fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :
Simplificando cada termo:
Agora, somamos os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de a para encontrar o trabalho:
Vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 7

Vamos simplificar as frações:
Então, temos:
Para somar, vamos trazer todos para um denominador comum, que é 21:
Convertendo para decimal:

Resposta

O trabalho realizado pela força F ao longo da trajetória C é aproximadamente unidades de trabalho.

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