Resolva os limites a seguir:
lim x pi / 3 sen 3 x1-2 cos x
R.: -raiz3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! Temos que calcular o limite quando se aproxima de da função . Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas, como identidades trigonométricas e a regra de L’Hôpital quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir sin(3x) = sin(3 cdot pi3) = sin(pi) = 0 na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite diretamente:
1 - 2cos x = 1 - 2cos(pi3) = 1 - 2 cdot 12 = 1 - 1 = 0
Então, ao substituir, obtemos a forma indeterminada . Isso significa que precisamos de outra estratégia para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos a forma , a gente pode usar a regra de L’Hôpital, que diz que o limite de quando se aproxima de um ponto pode ser encontrado derivando o numerador e o denominador e calculando o limite dessas derivadas.

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador ddx[sin 3x] = 3cos 3x :
ddx[1 - 2cos x] = 2sin x
  • Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas na expressão do limite:
limx to pi3 3cos 3x2sin x
Vamos calcular cada parte:
cos 3x = cos(3 cdot pi3) = cos pi = -1
sin x = sin(pi3) = raiz32

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão:
3 cdot (-1)2 cdot raiz32 = -3raiz3 = -3raiz3 = -raiz3

Resposta

O limite é .

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