lim (x, y) (0,0) x y^4x^2+y^8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que é o seguinte:
lim (x, y) (0,0) x y^4x^2+y^8
Aqui estamos trabalhando com Limites de Funções de Várias Variáveis, que é um tópico de Cálculo. Para resolver esse tipo de limite, precisamos verificar se o valor que a função se aproxima é o mesmo independente do caminho que escolhemos para chegar ao ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa esse limite. Estamos querendo ver o que a expressão se aproxima quando e chegam a zero ao mesmo tempo. O truque aqui é tentar diferentes caminhos para chegando a e ver se obtemos sempre o mesmo resultado.

Passo 3

Vamos começar com um caminho simples: deixar 0 cdot y^40^2 + y^8 = 0y^8 = 0 e deixar variar até chegar a zero. Substituindo na expressão:
Então, ao longo do caminho onde , o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos escolher outro caminho. Desta vez, vamos deixar y^4 cdot y^4(y^4)^2 + y^8 = y^8y^8 + y^8 = y^82y^8 = 12 . Substituindo na expressão:
Então, ao longo do caminho onde , o limite é .

Passo 5

Observamos que ao escolher diferentes caminhos, obtemos resultados diferentes para o limite:
  • Quando , o limite é 0.
  • Quando , o limite é .
Isso significa que o limite depende do caminho que escolhemos para chegar a .

Resposta

Como o limite assume valores diferentes dependendo do caminho escolhido para , o limite não existe.

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