Considere que a área de uma superfície lateral , sobre uma curva e abaixo do gráfico de , onde e contínua em é dada por . Use a integral de linha para encontrar a área da superfície lateral sobre a curva abaixo da superfície , onde
(a) , com de a e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar a área de uma superfície lateral que está sobre uma curva e abaixo do gráfico de . No caso, a curva é parte do círculo unitário () onde , indo de até . A função que define a superfície é . Para resolver isso, vamos usar a integral de linha, que ajuda a calcular áreas e comprimentos ao longo de curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Como é a metade superior do círculo unitário, podemos usar coordenadas polares para facilitar. Vamos definir um parâmetro , que varia de a (90 graus), pois estamos indo do ponto até .
Então, a parametrização fica:
onde .
Passo 3
Agora, vamos calcular o elemento de comprimento nessa parametrização. Em coordenadas polares, para o círculo unitário (), temos:
Isso porque a derivada de e em relação a nos dá:
E então:
Passo 4
Com a parametrização e o definidos, podemos expressar a integral para a área :
Substituindo :
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Essa é uma integral que podemos resolver usando substituição. Vamos definir , então .