Considere que a área de uma superfície lateral S, sobre uma curva C e abaixo do gráfico de z=f(x, y), onde f(x, y) >= 0 e contínua em C é dada por A(S)=integralC f(x, y) d s. Use a integral de linha para encontrar a área da superfície lateral sobre a curva C abaixo da superfície z=f(x, y), onde
(a) C: x^2+y^2=1, com y >= 0 de (1,0) a (0,1) e f(x, y)=x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar a área de uma superfície lateral S que está sobre uma curva C e abaixo do gráfico de z = f(x, y). No caso, a curva C é parte do círculo unitário ( x^2+y^2=1) onde y >= 0, indo de (1,0) até (0,1). A função que define a superfície é f(x, y) = x y. Para resolver isso, vamos usar a integral de linha, que ajuda a calcular áreas e comprimentos ao longo de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva C. Como C é a metade superior do círculo unitário, podemos usar coordenadas polares para facilitar. Vamos definir um parâmetro theta, que varia de 0 a pi2 (90 graus), pois estamos indo do ponto (1,0) até (0,1).
Então, a parametrização fica:
x = costheta
y = sintheta
onde theta in [0, pi2].

Passo 3

Agora, vamos calcular o elemento de comprimento ds nessa parametrização. Em coordenadas polares, para o círculo unitário ( r=1), temos:
ds = r , dtheta = dtheta
Isso porque a derivada de x e y em relação a theta nos dá:
dx = -sintheta , dtheta
dy = costheta , dtheta
E então:
ds = raiz(dx)^2 + (dy)^2 = raiz(-sintheta)^2 + (costheta)^2 , dtheta = raizsin^2theta + cos^2theta , dtheta = dtheta

Passo 4

Com a parametrização e o ds definidos, podemos expressar a integral para a área A(S):
A(S) = integralC f(x, y) , ds = integral0^pi2 f(costheta, sintheta) , dtheta
Substituindo f(x, y) = x y:
A(S) = integral0^pi2 costheta cdot sintheta , dtheta

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^pi2 costheta cdot sintheta , dtheta
Essa é uma integral que podemos resolver usando substituição. Vamos definir u = sintheta, então du = costheta , dtheta.
Substituindo:
integral u , du = u^22
Voltando para theta:
sin^2theta2 gr|0^pi2 = sin^2(pi2)2 - sin^2(0)2 = 12 - 0 = 12

Resposta

A área da superfície lateral S é 12.

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