Sendo
um campo conservativo em
:
(a) Encontre uma função potencial para
.
(a) Encontre uma função potencial para
Passo 1
Vamos resolver o exercício de encontrar uma função potencial para o campo vetorial
. Esse problema está relacionado ao estudo de campos conservativos na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, precisaremos aplicar o conceito de função potencial e realizar integrações parciais.
Passo 2
Primeiro, lembramos que um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que:
Isso significa que:
Passo 3
Para encontrar a função potencial
, vamos integrar
em relação a
:
A integral de
em relação a
é
, pois
é tratado como constante, e a integral de 1 em relação a
é
. Assim:
Passo 4
Agora, vamos determinar a função
diferenciando
em relação a
e igualando a
:
Portanto:
Isso significa que
é uma constante. Podemos chamar essa constante de
, mas para simplificar, podemos considerar
.
Passo 5
Finalmente, substituindo
na expressão de
, temos:
Resposta
A função potencial para
é: