Sendo F(x, y) = (e^(x+y) + 1) i + e^(x+y) j um campo conservativo em R^2 :
(a) Encontre uma função potencial para F.

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar uma função potencial para o campo vetorial F(x, y) = (e^(x+y) + 1) i + e^(x+y) j. Esse problema está relacionado ao estudo de campos conservativos na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, precisaremos aplicar o conceito de função potencial e realizar integrações parciais.

Passo 2

Primeiro, lembramos que um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que:
Isso significa que:

Passo 3

Para encontrar a função potencial , vamos integrar em relação a x:
A integral de em relação a x é , pois y é tratado como constante, e a integral de 1 em relação a x é x. Assim:

Passo 4

Agora, vamos determinar a função g(y) diferenciando em relação a y e igualando a :
Portanto:
Isso significa que g(y) é uma constante. Podemos chamar essa constante de C, mas para simplificar, podemos considerar .

Passo 5

Finalmente, substituindo na expressão de , temos:

Resposta

A função potencial para F é:

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