Determine se o campo é conservativo. Se for, determine uma função potencial e utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha para calcular a integral do campo ao longo da curva que sai de até .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se o campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial para ele e usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, calculando a integral desse campo ao longo de uma curva que vai do ponto até . Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, como verificar se um campo é conservativo e como encontrar a função potencial desse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que , ou seja, e . Isso implica que o campo não depende do caminho seguido, apenas dos pontos inicial e final.

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, precisamos checar se as derivadas cruzadas são iguais. Em termos matemáticos, precisamos ver se:
Vamos calcular cada derivada:
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que:
Integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de . Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Igualando os termos:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante. Então, a função potencial é:
Podemos ignorar a constante para calcular a integral.

Passo 5

Agora, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que nos diz que:
Vamos calcular e :
Para :
Para :
Então, a integral é:

Resposta

A integral do campo ao longo da curva de até é igual a .

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