Determine se o campo
é conservativo. Se for, determine uma função potencial e utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha para calcular a integral do campo ao longo da curva que sai de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se o campo vetorial
é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial para ele e usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, calculando a integral desse campo ao longo de uma curva que vai do ponto
até
. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, como verificar se um campo é conservativo e como encontrar a função potencial desse campo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
, ou seja,
e
. Isso implica que o campo não depende do caminho seguido, apenas dos pontos inicial e final.
Passo 3
Para verificar se o campo
é conservativo, precisamos checar se as derivadas cruzadas são iguais. Em termos matemáticos, precisamos ver se:
Vamos calcular cada derivada:
Como
, o campo é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
. Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Igualando os termos:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma constante. Então, a função potencial é:
Podemos ignorar a constante
para calcular a integral.
Passo 5
Agora, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que nos diz que:
Vamos calcular
e
:
Para
:
Para
:
Então, a integral é:
Resposta
A integral do campo
ao longo da curva de
até
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule o trabalho
feito pelo campo
ao se mover uma partícula ao longo de uma trajetória parabólica do ponto
ao ponto
.
Encontre e esboce o domínio das funções a seguir.
Encontre e esboce o domínio das funções a seguir.
Expresse a integral
em coordenadas esféricas e calcule a integral obtida.