Calcule a transformada de Fourier de f(t) = e^(-3|t|)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede pra calcular a transformada de Fourier de . A matéria envolvida aqui é a Transformada de Fourier, que é uma ferramenta muito legal na análise de sinais e sistemas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é a Transformada de Fourier e como aplicá-la a funções exponenciais como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Basicamente, ela transforma uma função do tempo para o domínio da frequência . A fórmula geral da Transformada de Fourier é:
No nosso caso, , então vamos substituir isso na fórmula:

Passo 3

Como a função é simétrica em relação ao tempo (ou seja, é uma função par), a Transformada de Fourier fica mais fácil de calcular. Isso porque a parte imaginária da integral, que envolve o seno, vai cancelar devido à simetria. Então, podemos simplificar a expressão para:
Aqui, usamos a propriedade de que a integral de uma função par de a é duas vezes a integral de 0 a .

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral:
Essa é uma integral padrão que aparece bastante em transformadas de Fourier. A solução para essa integral é conhecida e é dada por:
No nosso caso, e . Então, substituindo esses valores na fórmula, temos:

Passo 5

Agora, voltando à expressão para :

Resposta

A transformada de Fourier de é:

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