Calcule a transformada de Fourier de
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede pra calcular a transformada de Fourier de
. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Fourier, que é uma ferramenta muito legal na análise de sinais e sistemas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é a Transformada de Fourier e como aplicá-la a funções exponenciais como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Basicamente, ela transforma uma função do tempo
para o domínio da frequência
. A fórmula geral da Transformada de Fourier é:
No nosso caso,
, então vamos substituir isso na fórmula:
Passo 3
Como a função
é simétrica em relação ao tempo (ou seja, é uma função par), a Transformada de Fourier fica mais fácil de calcular. Isso porque a parte imaginária da integral, que envolve o seno, vai cancelar devido à simetria. Então, podemos simplificar a expressão para:
Aqui, usamos a propriedade de que a integral de uma função par de
a
é duas vezes a integral de 0 a
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral:
Essa é uma integral padrão que aparece bastante em transformadas de Fourier. A solução para essa integral é conhecida e é dada por:
No nosso caso,
e
. Então, substituindo esses valores na fórmula, temos:
Passo 5
Agora, voltando à expressão para
:
Resposta
A transformada de Fourier de
é: