Use resíduos para encontrar a transformada de Laplace inversa
corresponde à função
dada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente encontrar a transformada de Laplace inversa da função
usando o método dos resíduos. Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, que é super útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar entender sobre resíduos de funções racionais e como aplicá-los para achar a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos de
, que são os valores de
que fazem o denominador igual a zero. Ou seja, precisamos resolver:
Isso nos dá dois polos:
e as raízes da equação quadrática
.
Passo 3
Vamos encontrar as raízes da equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
:
Então, os polos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os resíduos nesses polos. A transformada de Laplace inversa usando resíduos é dada por:
Vamos calcular os resíduos para cada polo.
Para
:
Para
:
Primeiro, calculamos o resíduo:
Primeiro, calculamos o resíduo:
Calculando:
Avaliado em
:
Então:
Usando a identidade de Euler
, temos:
Como estamos interessados na parte real, fica:
Para
:
Por simetria, o resíduo será o complexo conjugado do anterior:
Por simetria, o resíduo será o complexo conjugado do anterior:
Resposta
Somando todos os resíduos, temos:
Portanto, a transformada de Laplace inversa é:
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Use resíduos para encontrar a transformada de Laplace inversa
corresponde à função
dada:
Desenvolva em série de Fourier a função abaixo:
Calcule a transformada de Fourier de
Dê o domínio das seguintes funções reais: