Use resíduos para encontrar a transformada de Laplace inversa corresponde à função dada:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente encontrar a transformada de Laplace inversa da função usando o método dos resíduos. Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, que é super útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar entender sobre resíduos de funções racionais e como aplicá-los para achar a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos de , que são os valores de que fazem o denominador igual a zero. Ou seja, precisamos resolver:
Isso nos dá dois polos: e as raízes da equação quadrática .

Passo 3

Vamos encontrar as raízes da equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e :
Então, os polos são e .

Passo 4

Agora, vamos calcular os resíduos nesses polos. A transformada de Laplace inversa usando resíduos é dada por:
Vamos calcular os resíduos para cada polo.
Para :
Para :
Primeiro, calculamos o resíduo:
Calculando:
Avaliado em :
Então:
Usando a identidade de Euler , temos:
Como estamos interessados na parte real, fica:
Para :
Por simetria, o resíduo será o complexo conjugado do anterior:

Resposta

Somando todos os resíduos, temos:
Portanto, a transformada de Laplace inversa é:

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Use resíduos para encontrar a transformada de Laplace inversa corresponde à função dada:
Desenvolva em série de Fourier a função abaixo:
Calcule a transformada de Fourier de
Dê o domínio das seguintes funções reais: