Use resíduos para encontrar a transformada de Laplace inversa
corresponde à função
dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace inversa
da função dada:
Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Laplace e ao uso de resíduos na análise complexa. Vamos precisar entender como aplicar o método dos resíduos para calcular a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o denominador
para facilitar a fatoração. Observamos que:
Mas ainda podemos fatorar mais:
Então, a fatoração completa do denominador é:
Passo 3
Agora, para usar o método dos resíduos, precisamos identificar os pólos de
, que são os valores de
que tornam o denominador zero. Já identificamos esses pólos:
Como queremos a transformada inversa, vamos usar a integral de inversão que envolve esses resíduos.
Passo 4
A fórmula da transformada de Laplace inversa usando resíduos é:
onde
são os pólos de
.
Vamos calcular os resíduos para cada pólo.
Passo 5
Vamos calcular o resíduo em
:
Usando a fatoração do denominador:
Então:
Simplificando:
Passo 6
De forma semelhante, vamos calcular os resíduos nos outros pólos:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, somamos todos os resíduos para obter
:
Podemos simplificar isso usando fórmulas de Euler para expressões exponenciais complexas:
Passo 8
Substituindo de volta:
Simplificando:
Sabemos que:
Então:
Resposta
A transformada de Laplace inversa é:
Exercícios relacionados
Desenvolva em série de Fourier a função abaixo:
Calcule o resíduo em
:
e
Use resíduos para encontrar a transformada de Laplace inversa
corresponde à função
dada:
Calcule a transformada de Fourier de