Use resíduos para encontrar a transformada de Laplace inversa corresponde à função dada:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace inversa da função dada:
Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Laplace e ao uso de resíduos na análise complexa. Vamos precisar entender como aplicar o método dos resíduos para calcular a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o denominador para facilitar a fatoração. Observamos que:
Mas ainda podemos fatorar mais:
Então, a fatoração completa do denominador é:

Passo 3

Agora, para usar o método dos resíduos, precisamos identificar os pólos de , que são os valores de que tornam o denominador zero. Já identificamos esses pólos:
Como queremos a transformada inversa, vamos usar a integral de inversão que envolve esses resíduos.

Passo 4

A fórmula da transformada de Laplace inversa usando resíduos é:
onde são os pólos de .
Vamos calcular os resíduos para cada pólo.

Passo 5

Vamos calcular o resíduo em :
Usando a fatoração do denominador:
Então:
Simplificando:

Passo 6

De forma semelhante, vamos calcular os resíduos nos outros pólos:
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, somamos todos os resíduos para obter :
Podemos simplificar isso usando fórmulas de Euler para expressões exponenciais complexas:

Passo 8

Substituindo de volta:
Simplificando:
Sabemos que:
Então:

Resposta

A transformada de Laplace inversa é:

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Desenvolva em série de Fourier a função abaixo:
Calcule o resíduo em : e
Use resíduos para encontrar a transformada de Laplace inversa corresponde à função dada:
Calcule a transformada de Fourier de