Mostre que L(t^n f(t)) = (-1)^n d^n/(d s^n) F(s), onde L(f(t)) = F(s).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a transformada de Laplace de é igual a vezes a -ésima derivada de , onde é a transformada de Laplace de . Ou seja, queremos provar que:
Para isso, vamos precisar usar as propriedades da transformada de Laplace, especialmente a que relaciona o tempo multiplicado por com derivadas em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de é dada por:
Isso é a definição básica da transformada de Laplace.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a transformada de . Vamos escrever isso:
Nosso objetivo é relacionar essa integral com derivadas de .

Passo 4

Vamos fazer uma observação chave: multiplicar por no domínio do tempo corresponde a tomar derivadas de ordem em relação a no domínio de . Mais especificamente, a propriedade que vamos usar é:
Essa é uma propriedade conhecida da transformada de Laplace, relacionada ao teorema das derivadas.

Passo 5

Então, aplicando essa propriedade diretamente, temos:
Onde é a transformada de Laplace de .

Resposta

Portanto, mostramos que:

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