Mostre que
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a transformada de Laplace de
é igual a
vezes a
-ésima derivada de
, onde
é a transformada de Laplace de
. Ou seja, queremos provar que:
Para isso, vamos precisar usar as propriedades da transformada de Laplace, especialmente a que relaciona o tempo multiplicado por
com derivadas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de
é dada por:
Isso é a definição básica da transformada de Laplace.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a transformada de
. Vamos escrever isso:
Nosso objetivo é relacionar essa integral com derivadas de
.
Passo 4
Vamos fazer uma observação chave: multiplicar
por
no domínio do tempo corresponde a tomar derivadas de ordem
em relação a
no domínio de
. Mais especificamente, a propriedade que vamos usar é:
Essa é uma propriedade conhecida da transformada de Laplace, relacionada ao teorema das derivadas.
Passo 5
Então, aplicando essa propriedade diretamente, temos:
Onde
é a transformada de Laplace de
.
Resposta
Portanto, mostramos que: