Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a transformada de Laplace de é igual a vezes a -ésima derivada de , onde é a transformada de Laplace de . Ou seja, queremos provar que:
Para isso, vamos precisar usar as propriedades da transformada de Laplace, especialmente a que relaciona o tempo multiplicado por com derivadas em .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de é dada por:
Isso é a definição básica da transformada de Laplace.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a transformada de . Vamos escrever isso:
Nosso objetivo é relacionar essa integral com derivadas de .
Passo 4
Vamos fazer uma observação chave: multiplicar por no domínio do tempo corresponde a tomar derivadas de ordem em relação a no domínio de . Mais especificamente, a propriedade que vamos usar é:
Essa é uma propriedade conhecida da transformada de Laplace, relacionada ao teorema das derivadas.
Passo 5
Então, aplicando essa propriedade diretamente, temos: