Mostre que , onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a transformada de Laplace de é igual a vezes a -ésima derivada de , onde é a transformada de Laplace de . Ou seja, queremos provar que:
Para isso, vamos precisar usar as propriedades da transformada de Laplace, especialmente a que relaciona o tempo multiplicado por com derivadas em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de é dada por:
Isso é a definição básica da transformada de Laplace.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a transformada de . Vamos escrever isso:
Nosso objetivo é relacionar essa integral com derivadas de .

Passo 4

Vamos fazer uma observação chave: multiplicar por no domínio do tempo corresponde a tomar derivadas de ordem em relação a no domínio de . Mais especificamente, a propriedade que vamos usar é:
Essa é uma propriedade conhecida da transformada de Laplace, relacionada ao teorema das derivadas.

Passo 5

Então, aplicando essa propriedade diretamente, temos:
Onde é a transformada de Laplace de .

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Calcule os limites:
a)
b)
c)
i)
j)
k)
q)
r)
r)
d)
I)
t)
e)
m)
u)
f)
n)
v)
g)
o)
x)
h)
p)
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(h)
R.:
Calcule a transformada de Fourier de . Após isso, (a) esboce o gráfico do módulo da transformada de Fourier em função de e (b) esboce o gráfico de fase da transformada de Fourier em função de .
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(e) ,