Calcule a transformada de Fourier das funções
:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de calcular a transformada de Fourier da função
. A matéria que estamos lidando aqui é Transformada de Fourier, que é uma ferramenta muito útil para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da transformada de Fourier e utilizar propriedades de derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier. Para uma função
, a transformada de Fourier
é dada por:
No nosso caso,
. Então, precisamos calcular:
Passo 3
Observando a função
, podemos notar que ela é ímpar, ou seja,
. Isso é útil porque a transformada de Fourier de funções ímpares envolve funções imaginárias.
Além disso, sabemos que a derivada da função
é
. Isso nos sugere que podemos relacionar nossa função original com a derivada de outra função, o que facilita o cálculo usando propriedades das transformadas de Fourier.
Passo 4
Vamos utilizar a propriedade de que a transformada de Fourier da derivada de uma função é dada por:
Rearranjando, temos:
Sabemos que
é proporcional à derivada de
. Vamos definir
, então:
Passo 5
Agora, aplicando a transformada de Fourier na expressão de
:
Sabemos que
tem transformada de Fourier conhecida:
Passo 6
Substituindo na expressão anterior:
Resposta
A transformada de Fourier da função
é: