Calcule a transformada de Fourier das funções f: R -> R :
(b) f(x) = x / (1 + x^2)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de calcular a transformada de Fourier da função . A matéria que estamos lidando aqui é Transformada de Fourier, que é uma ferramenta muito útil para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da transformada de Fourier e utilizar propriedades de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier. Para uma função , a transformada de Fourier é dada por:
No nosso caso, . Então, precisamos calcular:

Passo 3

Observando a função , podemos notar que ela é ímpar, ou seja, . Isso é útil porque a transformada de Fourier de funções ímpares envolve funções imaginárias.
Além disso, sabemos que a derivada da função é . Isso nos sugere que podemos relacionar nossa função original com a derivada de outra função, o que facilita o cálculo usando propriedades das transformadas de Fourier.

Passo 4

Vamos utilizar a propriedade de que a transformada de Fourier da derivada de uma função é dada por:
Rearranjando, temos:
Sabemos que é proporcional à derivada de . Vamos definir , então:

Passo 5

Agora, aplicando a transformada de Fourier na expressão de :
Sabemos que tem transformada de Fourier conhecida:

Passo 6

Substituindo na expressão anterior:

Resposta

A transformada de Fourier da função é:

Exercícios relacionados