Determine as funções
cujas transformadas de Fourier são dadas
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a função
cuja transformada de Fourier é dada por
. Para isso, precisamos entender como funciona a transformada de Fourier e como podemos inversa-la para achar
.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a transformada de Fourier de uma função
é definida por:
Para encontrar
, vamos usar a transformada inversa de Fourier:
Passo 3
Nosso objetivo é calcular essa integral com
. Para simplificar, vamos completar o quadrado no denominador:
Então, temos:
Passo 4
Reconhecemos que essa forma se assemelha à transformada de Fourier de uma função exponencial multiplicada por um seno ou cosseno. De fato, sabemos que:
No nosso caso,
, e há um deslocamento de
por
.
Passo 5
Aplicando a propriedade de deslocamento na frequência, temos que multiplicar pelo fator
. Portanto, fazendo as substituições, obtemos:
Resposta
A função
é dada por: