Determine as funções f: R -> C cujas transformadas de Fourier são dadas
(d) f(w) = 1/(w^2 + w + 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a função cuja transformada de Fourier é dada por . Para isso, precisamos entender como funciona a transformada de Fourier e como podemos inversa-la para achar .

Passo 2

Primeiro, lembramos que a transformada de Fourier de uma função é definida por:
Para encontrar , vamos usar a transformada inversa de Fourier:

Passo 3

Nosso objetivo é calcular essa integral com . Para simplificar, vamos completar o quadrado no denominador:
Então, temos:

Passo 4

Reconhecemos que essa forma se assemelha à transformada de Fourier de uma função exponencial multiplicada por um seno ou cosseno. De fato, sabemos que:
No nosso caso, , e há um deslocamento de por .

Passo 5

Aplicando a propriedade de deslocamento na frequência, temos que multiplicar pelo fator . Portanto, fazendo as substituições, obtemos:

Resposta

A função é dada por:

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